Область определения функции можно найти из неравенства откуда
На области определения функция принимает только неотрицательные значения. Нулями функции являются точки 0 и –1.
при x ≠ 0. Критическими являются точки –2, –1, 0 и Решая неравенство f ′ (x) > 0, находим, что функция возрастает при
и убывает при Таким образом, точки
и 0 являются минимумами функции, а точка – максимумом. В точке x = –1 функция принимает минимальное значение на промежутке.
Вертикальной асимптотой к графику функции является прямая x = –2. Найдем наклонные асимптоты. При положительных x
Прямая
является наклонной асимптотой. Аналогично при отрицательных x
то есть прямая
является наклонной асимптотой.
Сведем полученные данные в таблицу.
x
y
+
≈4.2
+
∞
0
y′
–
0
+
Не сущ.
+
Прим.
Минимум
Асимптота
x
0
y
+
≈0.34
+
0
+
y'
+
0
–
Не сущ.
+
Прим.
Максимум
Минимум
Уточним график функции, вычислив f (x) в контрольных точках.
x
–3
1
2
3
y
Кроме того, заметим, что
Отсюда следует, что вблизи x = 0 функция f (x) ведет себя так же, как функция