Подобно тому, как тригонометрические синус и косинус являются координатами точки на координатной окружности, гиперболические синус и косинус являются координатами точки на гиперболе.
Эти функции определены и непрерывны на всей числовой оси. Гиперболический синус является нечетной функцией, возрастающей на всей числовой оси. Гиперболический косинус является четной функцией, убывающей на промежутке (–∞; 0) и возрастающей на промежутке (0; +∞). Точка (0; 1) является минимумом этой функции.
График 2.4.5.1.
Графики функций y = sh x и y = ch x.
По аналогии с тригонометрическими функциями определены гиперболические тангенс и котангенс:
Тангенс определен на всей числовой оси, котангенс – при всех x ≠ 0
().
Обе функции непрерывны на всей области определения, нечетны и имеют горизонтальные асимптоты y = –1 (при x → –∞) и y = 1 (при x → +∞).
График 2.4.5.2.
Графики функций y = th x и y = сth x.
Приведем некоторые формулы, связанные с гиперболическими функциями.
sh x + ch x = ex
ch2x – sh2x = 1
ch 2x = ch2x + sh2x
sh 2x = 2 sh x ch x
sh (x + y) = sh x ch y + ch x sh y
ch (x + y) = ch x ch y + sh x sh y
Функции, обратные гиперболическим синусу и тангенсу, определены и непрерывны на всей числовой оси. Они обозначаются соответственно arsh x и arth x. У гиперболического косинуса определены сразу две обратные функции: arch–x при x ≤ 0 и arch+x при x ≥ 0.
График 2.4.5.3.
Графики функций y = arsh x и y = arth x.
График 2.4.5.4.
Графики функции y = arch–x и y = arch+x.
В заключение приведем формулы для обратных гиперболических функций: