Глава 2. Элементарные функции и их графики

2.4. Другие элементарные функции

2.4.3. Показательная функция

В природе и жизни человека встречается большое количество процессов, в которых некоторые величины изменяются так, что их отношение данной величины через равные промежутки времени не зависит от времени. Среди таковых можно назвать радиоактивный распад веществ, рост суммы на счету в банке и др. Все эти процессы описываются показательной функцией.

Пусть    – последовательность рациональных чисел, сходящихся к x. Определим число как предел
Показательной функцией с основанием a > 0 называется функция, принимающая значения

График 2.4.3.1. График показательной функции

Данный предел не зависит от выбора последовательности r_n, приводящей к числу x. Областью определения показательной функции является вся числовая ось. Эта функция непрерывна, монотонно возрастает при a > 1  и монотонно убывает при 0 < a < 1  Функция никогда не обращается в нуль, но имеет горизонтальную асимптоту  y = 0.

Особое значение в приложениях имеет показательная функция, в качестве основания которой используют число e, определяемое как Численно оно равно

e = 2,71828182845904523536...

Определенная так функция называется экспоненциальной или просто экспонентой и обозначается

Модель 2.16. Радиоактивный распад

В заключение приведем пример из физики. Количество радиоактивного вещества, оставшегося к моменту t, описывается формулой

.

Здесь – первоначальное количество вещества, – период полураспада.