В природе и жизни человека встречается большое количество процессов, в которых некоторые величины изменяются так, что их отношение данной величины через равные промежутки времени не зависит от времени. Среди таковых можно назвать радиоактивный распад веществ, рост суммы на счету в банке и др. Все эти процессы описываются показательной функцией.
Пусть
– последовательность рациональных чисел, сходящихся к x. Определим число
как предел
Показательной функцией с основанием a > 0 называется функция, принимающая значения
График 2.4.3.1.
График показательной функции
Данный предел не зависит от выбора последовательности rn, приводящей к числу x. Областью определения показательной функции является вся числовая ось. Эта функция непрерывна, монотонно возрастает при a > 1
и монотонно убывает при 0 < a < 1
Функция никогда не обращается в нуль, но имеет горизонтальную асимптоту y = 0.
График 2.4.3.2.
График экспоненциальной функции y = ex.
Особое значение в приложениях имеет показательная функция, в качестве основания которой используют число e, определяемое как
Численно оно равно
e = 2,71828182845904523536...
Определенная так функция называется экспоненциальной или просто экспонентой и обозначается
Модель 2.16.
Радиоактивный распад
В заключение приведем пример из физики. Количество радиоактивного вещества, оставшегося к моменту t, описывается формулой
.
Здесь
– первоначальное количество вещества,
– период полураспада.