Глава 2. Алгебраические выражения

2.2.

2.2.5.

В § 2.2.4 мы определили значение выражения a^x для всех a > 0 и всех x. Если a = 1, то a^x = 1 при всех x. Следовательно, при a > 0, a ≠ 1, определена функция y = a^x, отличная от постоянной. Эта функция называется показательной функцией с основанием a. К основным свойствам показательной функции y = a^x при a > 1 относятся:

1. Область определения функции − вся числовая прямая.
2. Область значений функции − промежуток
3. Функция строго монотонно возрастает на всей числовой прямой, то есть, если то
4. График показательной функции с основанием a > 1 изображён на рисунке.

1

Рисунок 2.2.5.1. Функция y = ax при a > 1

2

Рисунок 2.2.5.2. Функция y = ax при 0 < a < 1

1. Область определения функции − вся числовая прямая.
2. Область значений функции − промежуток
3. Функция строго монотонно убывает на всей числовой прямой, то есть, если то
4. График показательной функции с основанием 0 < a < 1 изображён на рисунке.

К общим свойствам показательной функции как при 0 < a < 1, так и при a > 1 относятся:

1. для всех и
2. для всех и
3. для любого x.
4. для любого x и любого
5. (ab)^x = a^xb^x для любых a, b > 0, a, b ≠ 1.
6. для любых a, b > 0, a, b ≠ 1.
7. 

Все эти свойства следуют из свойств операции возведения в степень. Третье и четвёртое свойства являются непосредственным следствием второго. Седьмое свойство следует из строгой монотонности показательной функции и даёт способ решения простейших показательных уравнений.

Пример 2

Решите уравнение: 1)  2) 

Показать решение

1) Приведём уравнение к виду Имеем Отсюда получается 2) Сделаем замену переменной Тогда получается квадратное уравнение корни которого Таким образом, либо то есть и x = 0, либо то есть Ответ. 1) 2) x = 0, x = 1.

Модель 2.4. Показательная функция