Вспомним определение функции (подробнее см. курс «Открытая Математика 2.6. Функции и Графики», § 1.3.1):
Пусть задано числовое множество
Если каждому числу xD поставлено в соответствие единственное число y, то говорят, что на множестве D задана числовая функция:
y = f (x), xD.
Множество D, называется областью определения функции и обозначается D (f (x)).
Множество, состоящее из всех элементов f (x), где xD, называется областью значений функции и обозначается E (f (x)).
Рациональной называется функция, которую можно представить в виде отношения двух многочленов, то есть
где
− многочлен n-ной степени,
− многочлен m-ной степени. Такую функцию f (x) ещё иногда называют рациональной дробью.
Модель 2.2.
Дробно-линейная функция
Пример 1
− рациональные функции;
− эти функции изначально не представлены в виде отношения многочленов, но могут быть представлены в таком виде.
Основное свойство рациональной дроби можно выразить формулой
справедливой при
и
где R (x) − многочлен. Кратко основное свойство рациональной дроби может быть выражено фразой: числитель и знаменатель рациональной дроби можно умножить и разделить на одно и то же отличное от нуля число, одночлен или многочлен.
Из основного свойства рациональной дроби следуют равенства:
Например,
Основное свойство дроби даёт возможность умножить и разделить числитель и знаменатель рациональной дроби на одно и то же выражение, отличное от нуля. Такая операция называется сокращением дроби. Для того, чтобы сократить рациональную дробь, нужно разложить её числитель и знаменатель на множители. При этом сокращение возможно, лишь если числитель и знаменатель имеют общие множители. Если же они не имеют общих множителей, то дробь сократить нельзя.
Числитель: x3 – 4x = x(x2 – 4) = x(x + 2)(x – 2). Мы воспользовались вынесением общего множителя за скобку и формулой разности квадратов.
Знаменатель:
Имеем:
Ответ.
Для того чтобы описать действия с рациональными дробями, опишем процедуру их приведения к наименьшему общему знаменателю.
Общим знаменателем нескольких рациональных функций называется многочлен, который делится на знаменатель каждой дроби.
Например, общим знаменателем двух дробей
и будет многочлен (x – 2)(2x – 1).
Но общим знаменателем этих дробей также служит многочлен 2x(x – 2)(2x – 1), а также
Обычно удобнее найти многочлен минимальной степени. Такой знаменатель называется наименьшим общим знаменателем. В нашем примере таким знаменателем является многочлен (x – 2)(2x – 1). Имеем:
Множители, на которые нужно умножить числитель и знаменатель каждой дроби, называются дополнительными множителями. В нашем примере дополнительный множитель для дроби
равен (x – 2), а для дроби
равен (2x – 1).
Итак, для того, чтобы привести несколько рациональных дробей к общему знаменателю, нужно:
во-первых, разложить числитель и знаменатель каждой дроби на множители;
во-вторых, найти общий знаменатель всех этих дробей;
в-третьих, найти дополнительные множители для каждой дроби, они получаются путём деления общего знаменателя на знаменатель каждой из дробей;
в-четвёртых, умножить каждую из дробей на свой дополнительный множитель.
Значит, общим знаменателем данных дробей будет многочлен 6x2(x + 1)(x – 1). Дополнительными множителями для каждой из дробей будут:
для первой дроби
для второй дроби
для третьей дроби
Умножим каждую из дробей на её дополнительный множитель, приводя их тем самым к общему знаменателю:
Ответ.
Перейдём теперь к изучению преобразований рациональных выражений.
Сложение. Сумма двух рациональных дробей с одинаковыми знаменателями определяется следующей формулой:
то есть для того, чтобы сложить две дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить тем же.
Вычитание. Разность двух рациональных дробей с одинаковыми знаменателями определяется следующей формулой:
то есть для того, чтобы вычесть две дроби с одинаковыми знаменателями, нужно вычесть их числители, а знаменатель оставить тем же.
Если же нужно сложить или вычесть две дроби с разными знаменателями, то сперва их следует привести к одному знаменателю и после произвести сложение и вычитание.
Модель 2.3.
Сложение и вычитание алгебраических дробей