Та запись комплексного числа, которую мы использовали до сих пор, называется алгебраической формой записи комплексного числа. Часто бывает удобна немного другая форма записи комплексного числа. Пусть
и φ = arg z. Тогда по определению аргумента имеем:
Отсюда получается
z = a + bi = r(cos φ + isin φ).
Такая форма называется тригонометрической формой записи комплексного числа. Как видно, для того, чтобы перейти от алгебраической формы записи комплексного числа к тригонометрической форме, нужно найти его модуль и один из аргументов.
Найдём модуль этого числа:
Аргумент данного числа находится из системы
Значит, один из аргументов числа
равен
Получаем:
Ответ.
Арифметические действия над комплексными числами, записанными в тригонометрической форме, производятся следующим
образом. Пусть z1 = r1(cos φ1 + i sin φ1) и z2 = r2(cos φ2 + i sin φ2). Имеем:
Видно, что в тригонометрической форме операции умножения и деления производятся особенно просто: для того, чтобы перемножить (разделить) два комплексных числа, нужно перемножить (разделить) их модули и сложить (вычесть) их аргументы.
Отсюда следует, что для того чтобы перемножить n комплексных чисел, нужно перемножить их модули и сложить аргументы: если φ1, φ2, ..., φn – аргументы чисел z1, z2, ..., zn, то
В частности, если все эти числа равны между собой, то получим формулу, позволяющую возводить комплексное число в любую натуральную степень.
Как было найдено в предыдущем примере, данное число в тригонометрической форме имеет вид
По первой формуле Муавра получаем:
Ответ.
Число z называется корнем степени
из комплексного числа w, если
Корень степени
обозначается
Пусть теперь число w фиксировано. Найдём z из уравнения
Если w = 0, то у уравнения
существует единственное решение z = 0.
Если w ≠ 0, то положим, что нам известно тригонометрическое представление числа w = r0(cos φ0 + isin φ0), и будем искать число z также в тригонометрической форме: z = r(cos φ + i sin φ). Из определения аргумента и геометрической интерпретации комплексных чисел следует, что два комплексных числа, записанных в тригонометрической форме, равны тогда и только тогда, когда равны их модули, а аргументы отличаются на угол, кратный 2π. Имеем:
откуда получается:
Итак, все решения уравнения
задаются формулой
Заметим, что если в эту формулу подставлять натуральные числа k, то при k = 0, 1, ..., n мы будем получать разные комплексные числа, а при k = n имеем:
Значит, и в дальнейшем значения корней будут повторяться. Следовательно, существует ровно n корней уравнения
и все они задаются одной формулой.
и φ = arg 
из комплексного числа 
Корень степени 
обозначается 
Пусть теперь число 
существует единственное решение 
задаются формулой
и все они задаются одной формулой.
в тригонометрической форме.
Аргумент данного числа находится из системы
равен 
Получаем:
если 
По первой формуле Муавра получаем:
