Учебник. Компланарные векторы




Компланарные векторы

Векторы называются компланарными, если имеются равные им вектора, параллельные одной плоскости.

Любые два вектора компланарны. Любые три вектора, среди которых есть два коллинеарных, компланарны.

На рисунке 9.2.1 векторы CA ,   C A 1 и D D 1 компланарны, так как, если отложить от точки C вектор C C 1 = D D 1 , то все три вектора CA ,   C A 1 и C C 1 окажутся лежащими в одной плоскости. Векторы DC ,   CA и D D 1 не компланарны, так как вектор D D 1 не лежит в плоскости ACD.

Пусть векторы a и b не коллинеарны, тогда для любого вектора c , лежащего в одной плоскости с a и b , существует единственная пара чисел α и β, такая, что c =α a +β b .

Эта теорема верна и для того случая, когда векторы a ,   b и c параллельны одной плоскости.

Отложим от произвольной точки векторы a и b . Спроектируем конец вектора c на прямые, задаваемые векторами a и b , в направлении, параллельном другому вектору (рис. 9.2.2). Обозначим вектора с началами в точке O и с концами в полученных точках соответственно c 1 и c 2 . Так как эти вектора лежат на тех же прямых, что и a , и b , то по теореме 9.3 существуют такие числа α и β, что c 1 =α a ,   c 2 =β b . При этом по правилу параллелограмма  c = c 1 + c 2 . Значит, c =α a +β b .

Докажем теперь, что такая пара чисел единственна. Предположим, что нашлось два разложения вектора c по векторам a и b , то есть нашлись две пары чисел α 1 ,   β 1 и α 2 ,   β 2 таких, что α 1 α 2   β 1 β 2 , и справедливы разложения: c = α 1 a + β 1 b и c = α 2 a + β 2 b . Вычитая из первого равенства второе, получаем 0 =( α 1 - α 2 ) a +( β 1 - β 2 ) b . Отсюда, ввиду того что α 1 α 2 , следует, что a = - ( β 1 - β 2 ) ( α 1 - α 2 ) b , то есть a b , что по условию не так. Полученное противоречие означает, что неравенство α 1 α 2 невозможно, а значит α 1 = α 2 . Аналогично доказывается, что β 1 = β 2 . Теорема доказана.

Если векторы a ,   b и c , отложенные от одной точки, не лежат в одной плоскости, то равенство x a +y b +z c = 0 верно только при x = y = z = 0.

Действительно, из того, что x0, следует, что a = - y x b - z x c . Значит, вектор a лежит в одной плоскости с векторами b и c , что неверно. Поэтому x = 0. По той же причине y = 0 и z = 0.

Эта теорема позволяет от одного векторного равенства переходить к системе числовых равенств.

Любой вектор можно разложить по трем данным некомпланарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Эта теорема доказывается аналогично теореме 9.4, и поэтому мы не будем на ней подробно останавливаться.





 

Установка заборов Дмитров
Установка домашних кинотеатров
stroika21.ru
© Физикон, 1999-2015