Учебник. Вычисление расстояний в пространстве




Вычисление расстояний в пространстве

Формула расстояния между точками в декартовой прямоугольной системе координат была получена в параграфе 9.4.

Для определения расстояния от точки W до прямой p можно, выбрав на прямой p какие-нибудь две точки, например U 1 и U 2 , подсчитать стороны треугольника W U 1 U 1 , а затем его высоту WH. Сделать это нетрудно, выражая W H 2 двумя способами. А именно, из прямоугольного треугольника WH U 1 :   W H 2 =W U 1 2 - U 1 H 2 , а из прямоугольного треугольника WH U 2 :   W H 2 =W U 2 2 - U 2 H 2 . Таким образом, W U 1 2 - U 1 H 2 =W U 2 2 - U 2 H 2 . Из этого равенства можно найти один из отрезков U 1 H и U 2 H , затем найти WH. Не останавливаясь здесь на доказательстве, отметим, что из последнего равенства предпочтительней находить больший из этих отрезков. Ясно, что если, например, отрезок W U 1 больше отрезка W U 2 , то и отрезок U 1 H больше отрезка U 2 H . Сделав в таком случае в последнем равенстве замену U 2 H 2 = ( U 1 U 2 - U 1 H ) 2 , найдем отрезок U 1 H , а затем и высоту WH.

В некоторых случаях для вычисления расстояния WH бывает целесообразней выразить двумя способами площадь треугольника W U 1 U 2 . Например, так: S= 1 2 WHċ U 1 U 2 и S= 1 2 W U 1 ċW U 2 sin U 1 W U 2 .

Тогда из равенства WHċ U 1 U 2 =W U 1 ċW U 2 sin U 1 W U 2 можно найти искомое расстояние WH.

Расстояние от точки до плоскости удобнее искать векторным методом. Итак, пусть задана точка M( x 0 y 0 z 0 ) и некоторая плоскость α: ax+by+cz+d=0 .

Пусть точка B ( xyz ) – ортогональная проекция точки M на плоскость α. Тогда MB =( x- x 0 y- y 0 z- z 0 ) α MB  | n ( abc ) MB =λ n , а значит, x- x 0 =λa ,   y- y 0 =λb ,   z- z 0 =λc . Точка B лежит в плоскости α, ее координаты x= x 0 +λa ,   y= y 0 +λb ,   z= z 0 +λc удовлетворяют уравнению плоскости: a( x 0 +λa ) +b( y 0 +λb ) +c( z 0 +λc ) =0. λ= - a x 0 +b y 0 +c z 0 +d a 2 + b 2 + c 2 .

Расстояние от точки M( x 0 y 0 z 0 ) до плоскости α равно | MB |=| λ n |=| λ |ċ| n | , значит h=| MB |=| a x 0 +b y 0 +c z 0 +d a 2 + b 2 + c 2 | .

Эта формула и выражает расстояние между точкой и плоскостью.





 

Линия убоя свиней
Есть все виды оборудования для мясопереработки и убоя скота. Обращайтесь
agro-zavod.ru
© Физикон, 1999-2015