Учебник. Расстояние между точками




Расстояние между точками

Рассмотрим точки A1 (x1; y1; z1) и A2 (x2; y2; z2) и найдём расстояние между этими точками. Пусть вначале прямая A1A2 не параллельна оси z (чертёж 9.4.1).

Расстояние между точками

Проведём через точки A 1 и A 2 прямые, параллельные оси z. Пусть эти прямые пересекут плоскость xy в точках A 1 и A 2 . Заметим, что поскольку эти точки лежат в плоскости xy, то координата z у них равна нулю. Проведём плоскость через точку A 2 , параллельную плоскости xy. Пусть эта плоскость пересекает прямую A 1 A 1 в точке C. Применим теорему Пифагора к треугольнику C A 1 A 2 :   A 1 A 2 2 = A 1 C 2 +C A 2 2 . Очевидно, что отрезки C A 2 и A 1 A 2 равны, а согласно теореме Пифагора на плоскости xy, получаем, что ( A 1 A 2 ) 2 = ( x 2 - x 1 ) 2 + ( y 2 - y 1 ) 2 . Поскольку длина отрезка A 1 C равна | z 2 - z 1 | , то окончательно имеем A 1 A 2 2 = ( x 2 - x 1 ) 2 + ( y 2 - y 1 ) 2 + ( z 2 - z 1 ) 2 .

Если же окажется, что отрезок A 1 A 2 параллелен оси z, то A 1 A 2 =| z 2 - z 1 | . Но тот же результат дает полученная формула, так как в этом случае x 1 = x 2 ,    y 1 = y 2 .

Итак, доказана следующая


Расстояние между точками A1 и A2 можно вычислить по формуле

A 1 A 2 = ( x 2 - x 1 ) 2 + ( y 2 - y 1 ) 2 + ( z 2 - z 1 ) 2 .

Вектор, конец которого совпадает с данной точкой, называется радиус-вектором данной точки.

Расстояние между точками

Рассмотрим некоторую точку M в пространстве с координатами (x; y; z). Пусть M1, M2, M3 – точки пересечения с осями координат плоскостей, проходящих через точку M перпендикулярно к этим осям (чертеж 9.4.2). Тогда

OM = O M 1 + O M 2 + O M 3 .

По определению координаты точки M  O M 1 =x . Значит, O M 1 =x i . Совершенно аналогично O M 2 =y j ,    O M 1 =z k . Получается, что OM =x i +y j +z k . Тем самым доказана следующая


Координаты любой точки равны соответствующим координатам ее радиус-вектора.


Рассмотрим теперь две точки A 1 ( x 1 y 1 z 1 ) и A 2 ( x 2 y 2 z 2 ) . По только что доказанному, A 1 A 2 =( x 2 - x 1 ; y 2 - y 1 ; z 2 - z 1 ) . Итак, каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала. Но длина вектора A 1 A 2 по определению равна длине отрезка A 1 A 2 , а длина этого отрезка есть расстояние между точками A 1 и A 2 . Значит,

| A 1 A 2 |= ( x 2 - x 1 ) 2 + ( y 2 - y 1 ) 2 + ( z 2 - z 1 ) 2 .

Эта формула позволяет вычислять длину вектора, зная его координаты.





 

Ведьмы шабаш империя-сильнейших-ведьм.рф
империя-сильнейших-ведьм.рф
© Физикон, 1999-2015