Учебник. Теорема об общем перпендикуляре двух скрещивающихся прямых




Теорема об общем перпендикуляре двух скрещивающихся прямых

Общим перпендикуляром двух скрещивающихся прямых называется отрезок с концами на этих прямых, перпендикулярный каждой из этих прямых.

Две скрещивающиеся прямые имеют общий перпендикуляр, и притом единственный.

Пусть a и b – скрещивающиеся прямые (чертеж 3.4.1). Через прямую b проведем плоскость α, параллельную прямой a, а через прямую a – плоскость β, перпендикулярную плоскости α. Пусть α ∩ β = c. По теореме о следе c || a. Пусть c ∩ b = A. В плоскости β проводим перпендикуляр AB к прямой a. Заметим, что AB – общий перпендикуляр прямых a и b. Действительно, по теореме 3.9 имеем AB ⊥ α, следовательно, AB ⊥ b. Кроме того, AB ⊥ a по построению. Пусть CD – отрезок с концами на данных прямых a и b ( Ca,Db ), C 1 = Пр α C . Поскольку a || α, то C 1 c и C C 1 =AB . Кроме того, C C 1 ||BA , следовательно, C C 1 α . Видно, что CD>C C 1 =AB , то есть AB – кратчайшее расстояние между точками прямых a и b. Это расстояние равно расстоянию между прямой a и плоскостью α. Ранее было доказано, что пара скрещивающихся прямых определяет единственную пару параллельных плоскостей. Упомянутое расстояние и есть расстояние между этими плоскостями.

Две скрещивающиеся прямые лежат в параллельных плоскостях.

Пусть a и b – данные скрещивающиеся прямые. Выберем на прямой a точку A и на прямой b точку B. Через точки A и B проведем прямые b и a соответственно такие, что a  |a ,   b  |b . Образуется две пары пересекающихся прямых параллельных прямым другой пары. По признаку параллельности плоскостей эти пары прямых определяют две параллельные плоскости, в которых и лежат данные скрещивающиеся прямые.





 

Фасадные работы
Кровельные и фасадные материалы. Кровельные и фасадные системы
fasadrolf.ru
© Физикон, 1999-2015