Учебник. Перпендикулярность двух плоскостей




Перпендикулярность двух плоскостей

Пусть прямая a является линией пересечения плоскостей α и β (чертеж 3.3.1). Пусть плоскость γ, перпендикулярная прямой a, пересекает плоскости α и β по прямым m и n, которые взаимно перпендикулярны, то есть γ ∩ α = m, γ ∩ β = n и m ⊥ n. Такие плоскости α и β называются взаимно перпендикулярными.

Это определение не зависит от плоскости γ. Действительно, если провести другую плоскость δ, перпендикулярную прямой a, то δ || γ.

Пусть δ ∩ α = m', δ ∩ β = n'. По теореме о следах m' || m и n' || n. Угол, образованный прямыми m' и n', и угол, образованный прямыми m и n, равны как углы с соответственно параллельными и одинаково направленными сторонами.

Пусть a ⊥ α, a ⊂ β, тогда β ⊥ α. То есть, если плоскость β содержит прямую a, перпендикулярную плоскости α, то плоскости α и β перпендикулярны.

Пусть a ⊥ α, a ⊂ β и α ∩ β = b (чертеж 3.3.2), c – прямая, лежащая в плоскости α и проходящая через точку O пересечения прямой a с плоскостью α и с ⊥ b. Через прямые a и c проведем плоскость γ. Имеем γ ⊥ b, так как a ⊥ b и c ⊥ b. Поскольку a ⊥ c, то по определению β ⊥ α.

Пусть α ⊥ β, α ∩ β = a, b ⊥ a, b ⊂ β, тогда b ⊥ α. То есть прямая b, лежащая в одной из взаимно перпендикулярных плоскостей β и перпендикулярная линии пересечения a этих плоскостей, перпендикулярна и другой плоскости α.

Пусть b ∩ a = A (чертеж 3.3.3), a = α ∩ β и β ⊥ α. В плоскости α проведем прямую c через точку A перпендикулярно прямой a. Проведем плоскость γ через прямые b и c. Имеем γ ⊥ a по признаку перпендикулярности прямой и плоскости. Поскольку α ⊥ β, то b ⊥ c, следовательно, b ⊥ a и b ⊥ c, откуда следует, что b ⊥ α.

Если плоскости α и β взаимно перпендикулярны, и к плоскости α проведен перпендикуляр, имеющий общую точку с плоскостью β, то этот перпендикуляр лежит в плоскости β.

Пусть плоскости α и β перпендикулярны плоскости γ и пересекаются по прямой a, тогда a ⊥ γ.

На прямой a выберем произвольную точку A (чертеж 3.3.4). Проведем через точку A перпендикуляр к плоскости γ. По теореме 3.9 этот перпендикуляр лежит в каждой из плоскостей α, β, следовательно, он лежит на линии их пересечения.





 

© Физикон, 1999-2015