Учебник. Перпендикулярность прямой и плоскости




Перпендикулярность прямой и плоскости

Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой из этой плоскости.

Если прямая перпендикулярна каждой из двух пересекающихся прямых плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Пусть b и c – две пересекающиеся прямые плоскости α (чертеж 3.2.1), d – произвольная прямая плоскости α, a ⊥ b, a ⊥ c. Выбираем на этих прямых векторы  a b c d , как показано на чертеже 3.2.1. Поскольку векторы b и c  неколлинеарные, то d =x b +y c , где x и y – некоторые числа. Кроме того, заметим, что a ċ b = a ċ c =0, так как a b и a c . Теперь имеем: a ċ d = a ( x b +y c ) =x a ċ b +y a ċ c =0, следовательно, и ad , , а d – произвольная прямая плоскости α. Откуда, по определению aα , что и требовалось доказать.

Сформулируем некоторые теоремы, устанавливающие связь между параллельностью и перпендикулярностью в пространстве.

Плоскость, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и другой.

Две прямые, перпендикулярные одной плоскости, параллельны между собой.

Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных плоскостей, то она перпендикулярна и другой.

Две плоскости, перпендикулярные одной прямой, параллельны между собой.

Докажите эти теоремы самостоятельно, используя такое свойство: если векторы a b коллинеарные и a c , то b c .

Перпендикуляром, проведенным из данной точки на данную плоскость, называется отрезок прямой, перпендикулярной данной плоскости, который соединяет данную точку с точкой плоскости.

Пусть AO – перпендикуляр к плоскости α (чертеж 3.2.4), O – основание перпендикуляра. Длина этого перпендикуляра AO называется расстоянием от точки A до плоскости α . Отрезок, соединяющий точку A с любой точкой плоскости, отличной от O, называется наклонной (AB – наклонная, B – основание наклонной, BO – проекция наклонной на плоскость α, то есть BO = ПрαAB).

Если из одной точки вне плоскости проведены к ней перпендикуляр и наклонные, то

  • длина перпендикуляра меньше длины любой наклонной;
  • наклонные с равными проекциями равны;
  • из двух наклонных большую длину имеет та, у которой больше проекция.

Для того, чтобы прямая на плоскости была перпендикулярна наклонной, необходимо и достаточно, чтобы эта прямая была перпендикулярна ортогональной проекции наклонной на плоскость.

Необходимость. Пусть b ⊂ α и b ⊥ AB (чертеж 3.2.5). Поскольку b ⊥ AO, так как AO ⊥ α, то b ⊥ AOB по признаку взаимной перпендикулярности прямой и плоскости; следовательно, b ⊥ OB.

Достаточность. Пусть b ⊂ α и b ⊥ OB. Учитывая, что b ⊥ AO, имеем b перепендикулярна плоскости AOB; следовательно, b ⊥ AB.





 

Зачем учить английский?
Онлайн курсы английского и турецкого языков. Доступно и увлекательно
donntu.edu.ua
© Физикон, 1999-2015