Учебник. Первые следствия из аксиом стереометрии




Первые следствия из аксиом стереометрии

Через прямую и точку вне ее можно провести плоскость, и притом только одну.

Пусть B ∉ a (чертеж 1.2.1). На прямой a выберем произвольную точку A. Проведем прямую b через точки A и B; a ≠ b, так как B ∉ a. По аксиоме 1.3 через прямые a и b можно провести плоскость α. Ясно, что a ⊂ α и B ∈ α. Докажем от противного, что такая плоскость единственна. Пусть существует плоскость β такая, что a ⊂ β, B ∈ β и β ≠ α. Плоскости α и β имеют общую прямую a. Поскольку эти плоскости разные, то все их точки пересечения по аксиоме 1.2 лежат на прямой a. Мы пришли к противоречию, так как точка B, общая для плоскостей α и β, не принадлежит прямой a.

Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости.

Пусть точки A и B прямой a лежат в плоскости α (чертеж 1.2.2). Возьмем точку C ∉ a. По теореме 1.1 через прямую a и точку C можно провести плоскость β. Если β = α, то a ⊂ α и теорема доказана. Если β ≠ α, то по аксиоме 1.2 плоскости β и α имеют общую прямую b. Прямые a и b, лежащие в одной плоскости, совпадают, так как имеют две общие точки: A и B. Следовательно, a ⊂ α.

Легко доказать следующие теоремы.

Плоскость и прямая вне ее либо не имеют общих точек, либо имеют единственную общую точку.

Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну.

Сделайте это самостоятельно.





 

Школа боевых искусств
Новости школы. Школа боевых искусств
boevye-edinoborstva.ru
© Физикон, 1999-2015