Учебник. Вычисление угла между прямыми




Вычисление угла между прямыми

Пусть прямые l 1  и l 2  заданы общими уравнениями A 1 x+ B 1 y+ C 1 =0  и A 2 x+ B 2 y+ C 2 =0 . Обозначим через φ величину угла между прямыми l 1  и l 2 (напомним, что угол между прямыми измеряется от 0° до 90°), а через ψ – угол между нормальными векторами n 1 =( A 1 B 1 )  и n 2 =( A 2 B 2 )  этих прямых. Если ψ ≤ 90°, то φ = ψ. Если же ψ > 90°, то φ = 180° – ψ. В обоих случаях верно равенство cosφ=| cosψ | .  Из теоремы 11.10 следует, что cosψ=cos( n 1 ^ n 2 ) = ( n 1 n 2 ) | n 1 || n 2 | , и, следовательно, cosφ= | ( n 1 n 2 ) | | n 1 || n 2 | . Записав через координаты, получим cosφ= | A 1 A 2 + B 1 B 2 | A 1 2 + B 1 2 ċ A 2 2 + B 2 2 . Если прямые l 1  и l 2  заданы уравнениями с угловыми коэффициентами k 1  и k 2 : y= k 1 x+ b 1  и y= k 2 x+ b 2 , то нормальные векторы этих прямых могут быть n 1 =( k 1 -1 ) ,  n 2 =( k 2 -1 )  и выражение для косинуса угла между этими прямыми будет иметь вид: cosφ= | k 1 k 2 +1 | 1+ k 1 2 ċ 1+ k 2 2 .

Из последнего выражения следует, что если k 1 = k 2 ,  то cos φ = 1 и φ = 0, то есть прямые параллельны или совпадают. С другой стороны, если прямые параллельны, то φ = 0 или cos φ = 1. Подставляя в правую часть вместо cos φ его значение 1, умножая обе части на знаменатель и возводя в квадрат, получим ( 1+ k 1 2 ) ( 1+ k 2 2 ) = ( k 1 k 2 +1 ) 2    или    2 k 1 2 k 2 2 = k 1 2 + k 2 2 . Отсюда получаем k 1 = k 2 .

Если k 1 k 2 +1=0 ,  то cos φ = 0 и φ= π 2 ,  то есть прямые перпендикулярны. Обратно, если прямые перпендикулярны, то φ= π 2   или cos φ = 0. Отсюда следует с необходимостью k 1 k 2 +1=0 .

Следовательно, необходимые и достаточные условия параллельности и перпендикулярности двух прямых, заданных уравнениями с угловыми коэффициентами k 1  и k 2 ,  формулируются следующим образом.

Для того чтобы прямые y= k 1 x+ b 1  и y= k 2 x+ b 2  были

  • параллельны, необходимо и достаточно, чтобы k 1 = k 2 ,   b 1 b 2 ;
  • перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы k 1 k 2 =-1 .

Пользуясь знанием координат направляющего и нормального векторов прямых, заданных общими уравнениями, можно сформулировать условия параллельности и перпендикулярности прямых через коэффициенты общих уравнений этих прямых.

Для того чтобы прямые A 1 x+ B 1 y+ C 1 =0  и A 2 x+ B 2 y+ C 2 =0  были

  • параллельны, необходимо и достаточно, чтобы соответствующие коэффициенты их уравнений при одноименных неизвестных были пропорциональны, то есть A 1 A 2 = B 1 B 2 C 1 C 2 ;
  • перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство A 1 A 2 + B 1 B 2 =0 .
  • Пусть a 1 ( - B 1 A 1 ) ,  a 2 =( - B 2 A 2 )  – направляющие векторы прямых. Тогда необходимым и достаточным условием параллельности прямых является условие коллинеарности векторов a 1  и a 2 ,  то есть a 1 =k a 2   или   { - B 1 =k( - B 2 ) A 1 =k A 2 . Так как при этом a 1 0  и a 2 0 ,  то k ≠ 0. Поэтому, если один из коэффициентов равен нулю, например A 1 =0 ,  то с необходимостью A 1 =0 . При этом B 1 0 ,  B 2 0 .  С учетом этого можно записать A 1 A 2 = B 1 B 2 , откуда формально следует A 1 A 2 = B 1 B 2 =k . Отметим при этом, что если одновременно C 1 C 2 =k ,  то оба уравнения задают одну и ту же прямую и в этом случае прямые совпадают. Если же A 1 A 2 = B 1 B 2 C 1 C 2 ,  то прямые параллельны.

  • Неоходимым и достаточным условием перпендикулярности прямых является условие ортогональности их направляющих векторов a 1 ( - B 1 A 1 )  и a 2 ( - B 2 A 2 ) ,  для чего, в свою очередь, необходимо и достаточно равенство нулю их скалярного произведения, то есть ( a 1 a 2 ) =0 ,   или   A 1 A 2 + B 1 B 2 =0 , что и требовалось доказать.

Пусть задана прямая l общим уравнением Ax + By + C = 0 и некоторая точка M 2 ( x 2 y 2 ) ,  лежащая вне прямой. Поставим задачу найти расстояние ρ( M 2 l )  от этой точки до прямой l. Опустим перпендикуляр M 2 M 1  из точки M 2  на прямую l и обозначим r 1 ,   r 2  радиус-векторы точек M 1  и M 2  соответственно (см. рис. 11.6.1). Очевидно, ρ( M 2 l ) =| M 1 M 2 | .

Пусть M 0 ( x 0 y 0 )  – некоторая точка прямой l, отличная от точки M 1 ( x 1 y 1 ) .  Тогда уравнение прямой l можно записать в нормальной векторной форме: A( x- x 0 ) +B( y- y 0 ) =0 , где C=-A x 0 -B y 0 ,  а n ( AB )  – вектор нормали к прямой l. Или, в векторной форме, ( r - r 0 n ) =0 .

Очевидно, справедливо векторное равенство r 2 = r 1 + M 1 M 2 ,  причем M 1 M 2 =k n ,   поэтому r 2 = r 1 +k n .   Умножив обе части равенства скалярно на вектор n , получим ( r 2 n ) =( r 1 n ) +k( n n ) . Так как точка M 1   лежит на прямой l, то ( r 1 - r 0 n ) =0   и, следовательно, ( r 1 n ) =( r 0 n ) .  Подставляя в исходное равенство, найдем k= ( r 2 - r 0 n ) | n | 2 . Отсюда M 1 M 2 = ( r 2 - r 0 n ) | n | 2 n   и   ρ( M 2 l ) = | ( r 2 - r 0 n ) | | n | . Переходя к координатной форме записи и учитывая, что C=-A x 0 -B y 0 ,   | n |= A 2 + B 2 ,  имеем ρ( M 2 l ) = | A( x- x 0 ) +B( y- y 0 ) | A 2 + B 2 = | A x 2 +B y 2 +C | A 2 + B 2 .

Таким образом верна теорема

Растояние ρ( M 2 l ) от точки M 2 ( x 2 y 2 ) до прямой l, заданной уравнением Ax + By + C = 0 вычисляется по формуле ρ( M 2 l ) = |Ax+By+C| A 2 + B 2 .





 

Заказать цветы актобе
Возможность заказать билеты через интернет
aktobe.imperiacvetov.kz
© Физикон, 1999-2015