Учебник. Операции с векторами и их свойства




Операции с векторами и их свойства

Суммой векторов  a ( a 1 a 2 ) и b ( b 1 b 2 ) называется вектор c ( a 1 + b 1 a 2 + b 2 ) ,
  a ( a 1 a 2 ) + b ( b 1 b 2 ) = c ( a 1 + b 1 a 2 + b 2 ) .

Для любых векторов a ( a 1 a 2 ) ,    b ( b 1 b 2 ) справедливы равенства

a + b = b + a ,
a +( b + c ) =( a + b ) + c .

Каковы бы ни были три точки A, B и C, имеет место векторное равенство AB + BC = AC .


Пусть A (x1; y1), B (x2; y2), C (x3; y3) – данные точки.

Вектор AB имеет координаты x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , вектор BC имеет координаты x 3 - x 2 , y 3 - y 2 . Следовательно, вектор AB + BC имеет координаты x 3 - x 1 , y 3 - y 1 Вектор AC имеет такие же координаты. По теореме 11.5  AB + BC = AC . Теорема доказана.

Правило треугольника
Построение суммы векторов по правилу треугольника

Замечание. Теорема 11.6 даёт следующий способ построения суммы произвольных векторов a и b . Надо от конца вектора a отложить вектор b , равный вектору b . Тогда вектор, начало которого совпадает с началом вектора a , а конец – с концом вектора b , будет суммой векторов a и b .


Правило параллелограмма: для векторов с общим началом их сумма изображается диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах.

Правило параллелограмма

Разностью векторов  a ( a 1 a 2 ) и b ( b 1 b 2 ) называется такой вектор c ( c 1 c 2 ) , который в сумме с вектором b дает вектор a :   b + c = a , откуда c1 = a1– b1; c2 = a2– b2.

Произведением вектора a ⟶ ( a 1 ;  a 2 ) на число λ называется вектор b ( λ a 1 λ a 2 ) , т. е. λ a ( a 1 a 2 ) = b ( λ a 1 λ a 2 ) .

  • Для любого вектора a и чисел λ и μ  
    ( λ+μ ) a =λ a +μ a ;
  • Для любых двух векторов a и b и числа λ
    λ( a + b ) =λ a +λ b .

Абсолютная величина вектора λ a равна |λ || a|. Направление вектора λ a при a 0 совпадает с направлением вектора a , если λ > 0, и противоположно направлению вектора a , если λ < 0.


Построим векторы OA и OB , равные a и λ a соответственно (O – начало координат). Пусть a 1 и a 2  – координаты вектора a . Тогда координатами точки A будут числа a 1 и a 2 , координатами точки B – числа λ a 1 и λ a 1 .
Уравнение прямой OA имеет вид: αx + βy = 0. Так как уравнению удовлетворяют координаты точки A (a1; a2), то ему удовлетворяют и координаты точки B (λa1; λa2). Отсюда следует, что точка B лежит на прямой OA. Координаты c1 и c2 любой точки C, лежащей на луче OA, имеют те же знаки, что и координаты a1 и a2 точки A, и координаты любой точки, которая лежит на луче, дополнительном к OA, имеют противоположные знаки.

Поэтому, если λ > 0, то точка B лежит на луче OA, а следовательно, векторы a и λ a одинаково направлены. Если λ < 0, то точка B лежит на дополнительном луче и векторы a и λ a противоположно направлены.

Абсолютная величина вектора λ a равна | λ a |= ( λ a 1 ) 2 + ( λ a 2 ) 2 = | λ | a 1 2 + a 2 2 = | λ || a |. Теорема доказана.


Для любых отличных от нуля коллинеарных векторов a и b существует такое число λ, что b =λ a .


Пусть a и b одинаково направлены. Векторы b и ( | b | | a | ) a одинаково направлены и имеют одну и ту же абсолютную величину | b | . Значит, они равны: b =( | b | | a | ) a =λ a ,   λ= | b | | a | . Если векторы a и b противоположно направлены, аналогично заключаем, что
b = -( | b | | a | ) a =λ a ,
  λ= - | b | | a | . Теорема доказана.


Пусть a и b  – отличные от нуля неколлинеарные векторы. Любой вектор c можно единственным образом представить в виде c =λ a +μ b .


Пусть A и B – начало и конец вектора c . Проведем через точки A и B прямые, параллельные векторам a и b . Они пересекутся в некоторой точке C. Имеем AB = AC + CB . Так как векторы a и AC коллинеарны, то AC =λ a ; так как векторы CB и b коллинеарны, то CB =μ b . Таким образом, c =λ a +μ b .

К теореме 11.9

Для доказательства единственности представления допустим, что в условиях теоремы такое представление не единственно. То есть наряду с числами λ и μ такими, что c =λ a +μ b существуют числа λ 1 и μ 1 такие, что c = λ 1 a + μ 1 b и при этом верно хотя бы одно из соотношений λ λ 1 ,   μ μ 1 . Пусть для определенности λ λ 1 . Тогда из равенства λ a +μ b = λ 1 a + μ 1 b имеем a = μ- μ 1 λ 1 -λ b . На основании теоремы 11.7 и замечания 11.1 получаем, что векторы a и b коллинеарны. Но это противоречит условию неколлинеарности этих векторов. Показанное противоречие доказывает единственность представления. Теорема доказана.


Скалярное произведение векторов.

Скалярным произведением векторов  a ( a 1 a 2 ) и b ( b 1 b 2 ) называется число a 1 b 1 + a 2 b 2 . Скалярное произведение векторов a и b обозначется a b .

Для любых векторов a ( a 1 a 2 ) ,   b ( b 1 b 2 ) и c ( c 1 c 2 ) верно:

  • a b = b a ;
  • ( λ a ) b =λ a b ;
  • ( a + b ) c = a c + b c .

Скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними.


Пусть a и b  – данные векторы и φ – угол между ними. Имеем:

( a + b ) 2 =( a + b ) ( a + b ) =( a + b ) a +( a + b ) b =( a a ) +( b a ) +( a b ) +( b b ) = ( a ) 2 +2 a b + ( b ) 2 .
или
| a + b | 2 = | a | 2 + | b | 2 +2 a b .
Скалярное произведение a b , таким образом, выражается через длины векторов a ,   b и a + b , т. е. систему координат можно выбрать любую, а величина скалярного произведения не изменится. Выберем систему координат так, чтобы начало координат совпало с началом вектора a , а сам вектор a лежал на положительной полуоси оси Ox. Тогда координатами вектора a будут числа | a | и 0, а вектора b  – b cosφ и b sinφ . По определению
a b =| a |ċ| b |cosφ+0ċ| b |sinφ=| a |ċ| b |cosφ .

Скалярное произведение двух векторов

Единичные векторы l 1 ( 10 ) и l 2 ( 01 ) , имеющие направления положительных координатных полуосей, называются координатными векторами или ортами.


Любой ненулевой вектор a ( a 1 a 2 ) единственным образом можно разложить по координатным векторам, то есть записать в виде a = a 1 l 1 + a 2 l 2 .


Так как координатные векторы отличны от нуля и неколлинеарны, то любой вектор a ( a 1 a 2 ) допускает разложение по этим векторам в силу теоремы 11.9 a =λ l 1 +μ l 2 . Найдем λ и μ. Умножим обе части равенства скалярно на вектор l 1 ( 10 ) . Имеем a l 1 =λ l 1 l 1 +μ l 2 l 1 . С учетом того, что l 1 и l 2 ортогональны, имеем a 1 ċl+ a 2 ċ0=λ(lċl+0ċ0);λ= a 1 . Аналогично, умножая равенство на l 2 , получим a l 2 =μ l 2 l 2 или a 1 ċ0+ a 2 ċl=μ(0ċ0+lċl);μ= a 2 . Таким образом, для любого вектора a ( a 1 a 2 ) получается разложение a =λ l 1 +μ l 2 . Так как в силу теоремы 11.4 и теоремы 11.5 координаты однозначно определяют вектор, то разложение единственно. Теорема доказана.






 

© Физикон, 1999–2015