Глава 9. Координаты и векторы в пространстве

9.4. Расстояние между точками

Рассмотрим точки A₁ (x₁; y₁; z₁) и A₂ (x₂; y₂; z₂) и найдем расстояние между этими точками. Пусть вначале прямая A₁A₂ не параллельна оси z (чертеж 9.4.1).

Проведем через точки и прямые, параллельные оси z. Пусть эти прямые пересекут плоскость xy в точках и Заметим, что поскольку эти точки лежат в плоскости xy, то координата z у них равна нулю. Проведем плоскость через точку параллельную плоскости xy. Пусть эта плоскость пересекает прямую в точке C. Применим теорему Пифагора к треугольнику   Очевидно, что отрезки и равны, а согласно теореме Пифагора на плоскости xy, получаем, что Поскольку длина отрезка равна то окончательно имеем

Если же окажется, что отрезок параллелен оси z, то Но тот же результат дает полученная формула, так как в этом случае  

Итак, доказана следующая

Рассмотрим некоторую точку M в пространстве с координатами (x; y; z). Пусть M₁, M₂, M₃ – точки пересечения с осями координат плоскостей, проходящих через точку M перпендикулярно к этим осям (чертеж 9.4.2). Тогда

По определению координаты точки M  Значит, Совершенно аналогично   Получается, что Тем самым доказана следующая

Рассмотрим теперь две точки и По только что доказанному, Итак, каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала. Но длина вектора по определению равна длине отрезка а длина этого отрезка есть расстояние между точками и Значит,
Эта формула позволяет вычислять длину вектора, зная его координаты.