Глава 8. Правильные многогранники

8.5. Правильный тетраэдр

Применение формул последнего параграфа к правильному тетраэдру позволяет получить ряд интересных соотношений для последнего. В этом параграфе мы приведем полученные формулы для данного конкретного случая и, кроме того, найдем выражения для некоторых характеристик правильного тетраэдра, таких как, например, объем, площадь полной поверхности и т. п.

Следуя обозначениям предыдущего параграфа, рассмотрим правильный тетраэдр SA₁A₂A₃ с длиной ребра a. Обозначения для его углов оставим теми же и вычислим их.

1

Рисунок 8.5.1

В правильном треугольнике длина высоты равна Так как этот треугольник является правильным, то его высота одновременно является биссектрисой и медианой. Медианы, как известно, точкой своего пересечения делятся в отношении 2 : 1, считая от вершины. Несложно найти и точку пересечения медиан. Так как тетраэдр правильный, то этой точкой будет точка O – центр правильного треугольника Основание высоты правильного тетраэдра, опущенной из точки S, также проектируется в точку O. Значит, В правильном треугольнике длина апофемы тетраэдра равна Применим теорему Пифагора для Δ SBO: Отсюда Таким образом, высота правильного тетраэдра равна

Площадь правильного треугольника – основания тетраэдра – Значит, объем правильного тетраэдра равен

Площадь полной поверхности тетраэдра в четыре раза больше площади его основания:

Двугранный угол при боковой грани для правильного тетраэдра, очевидно, равен углу наклона боковой грани к плоскости основания:

Плоский угол при вершине правильного тетраэдра равен

Угол наклона бокового ребра к плоскости основания можно найти из  

Радиус вписанной сферы для правильного тетраэдра можно найти по известной формуле связывающей его с объемом и площадью полной поверхности тетраэдра (отметим, что последняя формула справедлива для любого многогранника, в который можно вписать сферу). В нашем случае имеем

Найдем радиус описанной сферы. Центр сферы, описанной около правильного тетраэдра, лежит на его высоте, так как именно прямая SO перпендикулярна плоскости основания и проходит через его центр, а на этой прямой должна лежать точка, равноудаленная от всех вершин основания тетраэдра. Пусть это точка тогда Имеем Применим теорему Пифагора к треугольникам и



Отметим, что

R = 3r,

r + R = H.

Если то

Интересно вычислить то есть тот угол, под которым видно ребро правильного тетраэдра из центра описанной сферы. Найдем его:

Значит, Это знакомая нам величина из курса химии: это угол между связями С–Н в молекуле метана, который удается очень точно измерить в эксперименте, а поскольку ни один атом водорода в молекуле СН₄, очевидно, ничем не выделен, то разумно предположить, что эта молекула имеет форму правильного тетраэдра. Этот факт подтверждается фотографиями молекулы метана, полученными при помощи электронного микроскопа.

2

Рисунок 8.5.2