Задачи с решениями

Шаг 1

Основанием данной пирамиды является равносторонний треугольник. Поскольку все боковые ребра пирамиды равны между собой, ее высота проходит через центр основания. Значит, данная пирамида правильная. На рисунке показано ее изображение. PD – апофема грани PBC. Найдем угол между прямой PD и плоскостью боковой грани PAC.

Шаг 2

Угол между наклонной и плоскостью – это угол между наклонной и ее ортогональной проекцией на эту плоскость. Значит, нужно спроектировать прямую PD на плоскость PAC. Поскольку точка P лежит в плоскости PAC, нужно спроектировать точку D на плоскость PAC.

Шаг 3

Отвлечемся от нашей задачи и рассмотрим задачу о проведении перпендикуляра из точки на плоскость. На рисунке показана плоскость α и точка P вне ее. Проведем на плоскость α произвольную прямую a. Из точки P проведем перпендикуляр PM на прямую a. Через точку M проведем на плоскости α прямую b, перпендикулярную прямой a. Теперь проводим перпендикуляр PO из точки P на прямую b. PO – перпендикуляр к плоскости α. Действительно, прямая a перпендикулярна плоскости POM (aPM и ab), значит, aPO. Кроме того, bPO по построению. Тогда POα по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.

Шаг 4

Действуем по правилу, описанному в шаге третьем. Проводим перпендикуляр DF из точки D на прямую AC (DF || BE). В плоскости PAC проведем перпендикуляр FG к прямой AC. Теперь проводим из точки D перпендикуляр DH к прямой FG. DH – перпендикуляр к плоскости PAC. Значит, H = Пр_PACD и DPH – искомый угол.

Шаг 5

Пусть AB = a. DF – средняя линия ΔCBE, значит,

Из прямоугольного ΔDFH имеем: DH = DF sinDFH (1). Заметим, что BE = PE, Поэтому
Очевидно, DFH =OEP. Из равенства (1) находим: Из прямоугольного ΔDPH находим искомый угол DPH:   и

Ответ: