Доказательство проведем от противного. Пусть прямые a и b лежат в плоскости β, причем a || α и b || α (чертеж 2.3.1). Если плоскости α и β не параллельны, то они пересекаются по некоторой прямой c. Поскольку a || α, то по теореме о следе c || a. Аналогично получаем, что c || b, тогда a || b. Мы пришли к противоречию, поскольку a и b по условию пересекаются.

Пусть α и β параллельны, γ – третья плоскость, которая пересекает их, причем α  γ  = a, β  γ  = b. Таким образом, a и b – следы плоскости γ на плоскостях α и β. Прямые a и b лежат в одной плоскости γ и не имеют общих точек, так как общих точек не имеют плоскости α и β. Следовательно, a || b.

На чертеже 2.3.4 показаны углы BAC и B₁A₁C₁, причем AB || A₁B₁ и AC || A₁C₁. По признаку параллельности плоскостей плоскость BAC параллельна плоскости B₁A₁C₁.

Пусть соответствующие отрезки на сторонах угла равны: AB = A₁B₁ и AC = A₁C₁. Проведем прямые AA₁, BB₁, CC₁. Четырехугольник ABB₁A₁ – параллелограмм, так как AB = A₁B₁ и AB || A₁B₁, следовательно, AA₁ = BB₁ и AA₁ || BB₁. Аналогично докажем, что AA₁ = CC₁. Отсюда следует, что BB₁ = CC₁ и BB₁ || CC₁, следовательно, CBB₁C₁ – параллелограмм и CB = C₁B₁. Теперь утверждаем, что Δ ABC =  Δ A₁B₁C₁, откуда  BAC =   B₁A₁C₁.