Задачи с решениями

Вычислить сторону правильного пятиугольника, вписанного в окружность радиуса R.

По теореме 10.4 сторона правильного пятиугольника связана с радиусом описанной окружности формулой   Вычислим величину sin 36°. Рассмотрим для этого равнобедренный треугольник ABC с основанием AC и противолежащим углом 36° (см. рисунок). Проведем биссектрису AD угла A. Так как треугольник ABC равнобедренный, то   Тогда, поскольку AD – биссектриса, то BAD = DAC = 36°, треугольник ABD равнобедренный, и BD = AD. Кроме того, ADC – внешний угол треугольника ABD, следовательно, ADC = ABD + BAD = 72°. Тогда треугольник ADC равнобедренный, и AD = AC. Обозначим BD = AD = AC = a. По теореме косинусов в треугольнике ADC имеем DC² = a² + a² – 2a · a · cos 36° = 2a²(1 – cos 36°),   Тогда   Из свойства биссектрисы имеем (AD – биссектриса):  или   Преобразовав это равенство, получим   Возведя обе части в квадрат, имеем: 2 – 2 cos 36° = 4 cos² 36° – 4 cos 36° + 1. Обозначим cos 36° = t > 0. Имеем 4t² – 2t – 1 = 0. Решая уравнение, получим   С учетом, что t > 0, получим   Тогда   Отсюда

2 из 5