Задачи с решениями

Из данной точки A, лежащей вне данной окружности w (O, r), провести касательную к ней.

Анализ. Пусть w (O, r) – данная окружность и A – данная точка вне нее. Пусть построена касательная AB к окружности (см. первый рисунок). По свойству касательной OBAB и ΔOBA – прямоугольный с заданной гипотенузой OA. Но в силу следствия 6.2 мы знаем, что множество вершин прямоугольных треугольников с заданной гипотенузой, противолежащих ей, образуют окружность с диаметром, совпадающим с гипотенузой. Отсюда способ построения.

Построение. Соединим центр окружности O с точкой A (см. второй рисунок). Построим середину C отрезка OA. Проведем окружность радиуса OC с центром в точке C. Пусть B и D – точки пересечения построенной окружности с данной. Проведем прямые AB и AD. Это искомые касательные.

Доказательство. Действительно, по построению углы OBA и ODA – вписанные в окружность w (C, CO) и опираются на диаметр OA этой окружности. По следствию 7.2 OBA = ODA = 90°. Кроме того, по построению точки B и D лежат на данной окружности w (O, r). Следовательно, по определению AB и AD – касательные к w (O, r).

1 из 6