Задачи с решениями

Доказать, что площадь треугольника может быть вычислена по следующим формулам:
а)   где γ – угол между сторонами a и b треугольника;
б)   где a, b, c – стороны треугольника, а   – полупериметр;
в)   где a, b, c – стороны треугольника, R – радиус описанной окружности;
г) S = pr, где p – полупериметр треугольника, r – радиус вписанной окружности.

а) Проведем в треугольнике ABC высоту BD. Имеем   Из прямоугольного треугольника CBD: BD = BC · sin γ, если γ острый (см. первый рисунок), BD = BC · sin (180° – γ), если угол γ тупой (см. второй рисунок). Так как sin (180° – γ) = sin γ, то в любом случае BD = BC · sin γ.

Cледовательно,   что и требовалось доказать.

б) Из пункта а)  По теореме косинусов Отсюда   Значит,

в) Как известно (см. задачу 1 главы 7),   где α – угол, противолежащей стороне a треугольника. Отсюда   Умножая обе части на   и замечая, что   получаем

г) Соединим центр вписанной окружности O с вершинами треугольника ABC и проведем радиусы в точки касания (см. третий рисунок).

Площадь треугольника ABC равна сумме площадей треугольников OAB, OBC и AOC. Но   Отсюда

1 из 6