Главная   Онлайн учебники   База репетиторов России   Тренажеры по математике   Подготовка к ЕГЭ 2017 онлайн



Глава 3. Дифференцирование и интегрирование функций

3.5. Простейшие дифференциальные уравнения

Назад Вперед
Назад Вперед

3.5.3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Дифференциальное уравнение называется линейным, если неизвестная функция и все ее производные входят в уравнение линейно:

Если f (x) тождественно равна нулю, то уравнение называется однородным; в противном случае оно называется неоднородным.

Принцип суперпозиции. Если и – решения однородного уравнения то
y (x) = α1 y1 (x) + α2 y2 (x)
при любых постоянных α1 и α2 является решением однородного уравнения.

Если и – решения неоднородного уравнения то их разность
y (x) = y1 (x) – y2 (x)
есть решение однородного уравнения

Всякое решение неоднородного уравнения есть сумма частного решения этого неоднородного уравнения и общего решения соответствующего ему однородного уравнения

Уравнение вида
где a1, …, an – некоторые постоянные, называется линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами.

Всякое решение однородного уравнения первого порядка
имеет вид
где C – постоянная.

Уравнение вида
где Pm (x) – многочлен степени m, μ – постоянная, имеет частное решение вида
если μ ≠ λ, и вида
если μ = λ. Здесь Qm (x) – многочлен степени m.

В общем случае у однородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами имеется так называемое характеристическое уравнение Корни этого уравнения – характеристические числа – являются показателями степеней слагаемых, входящих в решение. Если среди корней уравнения нет кратных, то решением однородного уравнения является функция вида где все – некоторые константы, зависящие от начальных условий. Количество слагаемых в этой функции совпадает со степенью дифференциального уравнения. Если же, скажем, – корень характеристического уравнения кратности m, то соответствующее слагаемое принимает вид а общее количество слагаемых, входящих в решение однородного дифференциального уравнения уменьшается на m – 1.

Уравнение
где ω > 0, называется уравнением гармонических колебаний. Его нетривиальным решением является функция вида
x (t) = C1 cos ωt + C2 sin ωt,
где C1, C2 – постоянные. Эту функцию можно представить в виде
x (t) = A cos (ωt – φ),
где  

Уравнение
сводится к трем случаям:


Назад Вперед
Наверх

Включить/Выключить фоновую музыкуВключить/Выключить звуки событий

Главная   Онлайн учебники   База репетиторов России   Тренажеры по физике   Подготовка к ЕГЭ 2017 онлайн

Смотрите также: Математика, Аннглийский язык, Химия, Биология, Физика, География, Астрономия.
А также: online подготовка к ЕГЭ на College.ru, библиотека ЭОРов и обучающие программы на Multiring.ru.