Задачи с решениями

Постройте кривую, заданную уравнением

Выразим x и y из уравнения параметрически. Пусть Тогда Отсюда
Итак, является параметрическим представлением данной кривой.

Поскольку функции x (t), y (t) периодичны, достаточно рассмотреть их поведение на промежутке [0; 2π]. Точки являются критическими точками.

Заметим также, что подстановка –x вместо x и –y вместо y не изменяет уравнение кривой. Отсюда следует, что кривая симметрична относительно координатных осей.

Заполним таблицу.

t	0
x	0	+	1	+	0	–	–1	–	0
y	1	+	0	–	–1	–	0	+	1
y′	±∞	–	0	+	±∞	–	0	+	±∞
y′′	Не сущ.	+	Не сущ.	–	Не сущ.	–	Не сущ.	+	Не сущ.
Прим.	Точка возврата		Гориз. касат.		Точка возврата		Гориз. касат.		Точка возврата

Кривая построена на рисунке. Эта кривая называется астроидой.

4 из 4