Задачи с решениями

Нарисуйте эскиз графика функции

 

Функция определена при  При x = 0  f (x) = 0. Других нулей функция не имеет. Решая неравенство y > 0, получаем, что функция принимает положительные значения при и отрицательные – при Функция нечетна.

 Функция f (x) убывает при  т. е.  и возрастает при  т. е. Критическими точками функции являются точки 0, ±1, В точках x = ±1 производная функции не существует. Точка x = 0 является стационарной точкой функции (производная функции не меняется при переходе через неё). В точке производная меняет знак с «+» на «–» – это точка максимума. Точка является точкой минимума. Окончательно, f (x) возрастает на каждом из промежутков   и

  при   Таким образом, функция выпукла вверх при и выпукла вниз при  

Вертикальными асимптотами функции являются прямые x = ±1 (при таких x  Найдем наклонную асимптоту функции. При x → +∞     Прямая y = –x является асимптотой функции при x → +∞. Т. к. функция нечетна, то эта же прямая является наклонной асимптотой при x → –∞.

x				–1	(–1; 0)	0	(0; 1)	1
y	+		+	Не сущ.	–	0	+	Не сущ.	–		–
y′	–	0	+	Не сущ.	+	0	+	Не сущ.	+	0	–
y′′	+	+	+	Не сущ.	–	0	+	Не сущ.	–	–	–
Прим.		Min		Асимптота		Стац. точка		Асимптота		Max

Вычислим значение функции в нескольких контрольных точках.

x	2	3	4
y

График функции изображен на рисунке.

2 из 4