Сколько решений имеет система
в зависимости от параметра a?
Решение
Множеством точек, координаты которых удовлетворяют первому уравнению, являются биссектрисы координатных четвертей: y = ±x. Второе же уравнение задает окружность единичного радиуса, центр которой имеет координаты (a; 0). Количество решений системы совпадают с количеством точек пересечения указанных кривых.
Из графика видно, что при
существует четыре точки пересечения кривых; при |a| = 1 таких точек три (окружность проходит через начало координат). При
окружность касается обоих прямых (начало координат, точки касания и центр окружности составляют квадрат со стороной 1), и точек пересечения две. Наконец, при
окружность не пересекается с прямыми, и система решений не имеет.
Задачи с решениями
4 из 5
