Глава M. Методика

M.3.

M.3.9.

Тема. Соотношение между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента.

Основные понятия. Преобразование тригонометрических выражений с использованием формул приведения, основного тригонометрического тождества, теорем сложения, формул двойного аргумента, формул понижения степени, а также формул, связанных с преобразованием суммы в произведение.

Самостоятельная деятельность учащихся. Решение контрольной работы по теме «Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента».

Использование новых информационных технологий. В качестве дополнительного иллюстративного материала показ на компьютере модели курса «Делители и кратные» перед проведением контрольной работы (используются компьютерные модели 2.7, 2.8, 2.9, 2.10).

План урока

Перед проведением контрольной работы полезно вспомнить с учащимися свойства и графики тригонометрических функций. В этой ситуации мы рекомендуем поработать с моделями 2.7, 2.8, 2.9, 2.10.

В этой модели строятся графики функций вида y = A sin (ax + b) + B. Мы рекомендуем ввести следующие значения параметров:
A = 1, B = 0, a = 1, b = 0.
В итоге получим график функции y = sin x.

Используя данную модель, можно предложить учащимся ответить на следующие вопросы:

1. Какова область определения функции?
2. Какова область её значений?
3. Является ли функция непрерывной?
4. На каких промежутках функция возрастает, на каких убывает?
5. Является ли функция чётной или нечётной?
6. Как выглядят графики чётной, нечётной функций?
7. Вычислите f (0); f (π); f (π/2); f (–π/2); f (–π); f (2π); f (–2π); f (3π/2).

В этой модели строятся графики функций вида y = A cos (ax + b) + B. Мы рекомендуем ввести следующие значения параметров:
A = 1, B = 0, a = 1, b = 0.
В итоге получим график функции y = cos x.

Используя данную модель, можно предложить учащимся ответить на следующие вопросы:

1. Какова область определения функции?
2. Какова область её значений?
3. Является ли функция непрерывной?
4. На каких промежутках функция возрастает, на каких убывает?
5. Является ли функция чётной или нечётной?
6. Как выглядят графики чётной, нечётной функций?
7. Вычислите f (0); f (π); f (π/2); f (–π/2); f (–π); f (2π); f (–2π); f (3π/2).

В этой модели строятся графики функций вида y = A tg (ax + b) + B. Мы рекомендуем ввести следующие значения параметров:
A = 1, B = 0, a = 1, b = 0.
В итоге получим график функции y = tg x.

Используя данную модель, можно предложить учащимся ответить на следующие вопросы:

1. Какова область определения функции?
2. Какова область её значений?
3. Является ли функция непрерывной?
4. На каких промежутках функция возрастает, на каких убывает?
5. Является ли функция чётной или нечётной?
6. Как выглядят графики чётной, нечётной функций?
7. Вычислите f (0); f (π); f (π/2); f (–π/2); f (–π); f (2π); f (–2π); f (3π/2).

В этой модели строятся графики функций вида y = A ctg (ax + b) + B. Мы рекомендуем ввести следующие значения параметров:
A = 1, B = 0, a = 1, b = 0.
В итоге получим график функции y = ctg x.

Используя данную модель, можно предложить учащимся ответить на следующие вопросы:

1. Какова область определения функции?
2. Какова область её значений?
3. Является ли функция непрерывной?
4. На каких промежутках функция возрастает, на каких убывает?
5. Является ли функция чётной или нечётной?
6. Как выглядят графики чётной, нечётной функций?
7. Вычислите f (0); f (π); f (π/2); f (–π/2); f (–π); f (2π); f (–2π); f (3π/2).

Основное содержание урока

Вариант 1

1. Упростите выражение:
   а) sin² (π + t) – sin² (π – t);
   б)

2. Решите уравнение
   

3. Упростите выражение:
   cos (–t) + sin (π + t).

4. Докажите тождество:
   

5. Вычислите
   

6. Докажите тождество:
   sin (α + β) + sin (α – β) = 2 sin α cos β.

7. Решите уравнение
   sin 3x cos x + cos 3x sin x = 0.

8. Упростите выражение:
   

9. Решите уравнение
   sin 7x = sin 5x.

10. Докажите тождество:
    2cos² (45° + 3α) + sin 6α = 1.

11. Вычислите
    cos 50° + sin 160° – cos 10°.

12. Решите уравнение
    sin 6x + sin 2x + 2sin² x = 1.

Вариант 2

1. Упростите выражение:
   а)
   б)

2. Решите уравнение
   

3. Упростите выражение:
   ctg (–t) sin t + cos (π + t).

4. Докажите тождество:
   

5. Вычислите
   

6. Докажите тождество:
   cos (α + β) + cos (α – β) = 2 cos α cos β.

7. Решите уравнение
   cos 2x cos x – sin 2x sin x = 0.

8. Упростите выражение:
   

9. Решите уравнение
   cos 6x = cos 4x.

10. Докажите тождество:
    2 sin² (45° – 3α) + sin 6α = 1.

11. Вычислите
    sin 84° + cos 234° – sin 24°.

12. Решите уравнение
    2 cos² 2x + cos 2x + cos 6x  = 1.

Ответы

Вариант 1

1. а) 0; б) ctg t.
2. 
3. 0.
4. Тождество верно.
5. 1.
6. Тождество верно.
7. 
8. cos 2t.
9. πn; 
10. Тождество верно.
11. 0.
12. 

Вариант 2

1. а) 1; б) 1.
2. 
3. –2 cos t.
4. Тождество верно.
5. –11;
6. Тождество верно.
7. 
8. cos t.
9. πn;
10. Тождество верно.
11. 0.
12.