От выражений вида
перейдём к выражениям
которые имеют тот же знак.
Ответ.
Рассмотрим теперь неравенство
и найдём соответствующие ему условия равносильности. ОДЗ этого неравенства: f (x) > 0.
Если a > 1, то
тогда и только тогда, когда f (x) > 1 в ОДЗ (f (x) < 1), то есть
Если 0 < a < 1, то
тогда и только тогда, когда f (x) < 1 в ОДЗ (f (x) > 1), то есть опять
Верно и обратное, если
то при a > 1 имеем f (x) > 1 в ОДЗ (f (x) < 1), а при 0 < a < 1 имеем f (x) < 1 в ОДЗ (f (x) > 1). Таким образом, получаем следующие условия равносильности.
Отсюда следует, что:
Знак совпадает со знаком выражения в ОДЗ (f (x) > 0).
Рассмотрим теперь неравенство вида
где
ОДЗ этого неравенства:
Перепишем данное неравенство в виде:
loga (f (x) – g(x)) > 0.
С учетом ОДЗ можно записать соответствующую неравенству систему уравнений:
Знак разности логарифмов совпадает со знаком выражения в ОДЗ
Переходя к равносильной системе, заменим разность логарифмов в фигурных скобках на выражение, которое имеет с ним тот же знак в ОДЗ. Кроме того, заменим логарифм, стоящий до фигурной скобки, на выражение, с которым он совпадает по знаку в ОДЗ.
Так как в ОДЗ
выполнено неравенство
то
С учётом сделанного замечания, последняя система в ОДЗ равносильна следующему уравнению:
Так как в ОДЗ x > 0, то знак выражения совпадает со знаком функции
Нанесем решения всех неравенств на числовую прямую и найдем пересечение полученных областей с ОДЗ. Получим: