Пожалуй, самым важным методом решения уравнений любого типа является введение нового неизвестного, относительно которого уравнение имеет более простой вид, легко приводящийся к элементарному типу.
Перечислим наиболее часто встречающиеся типы замен.
Замена y = xn (степенная замена)
В частности, с помощью замены y = x2 так называемое биквадратное уравнение ax4 + bx2 + c = 0, a ≠ 0 приводится к квадратному.
Замена
или
(замена многочлена)
Чаще всего встречается замена
или
Замена
(дробно-рациональная замена). Здесь, как и всегда,
и
− многочлены степеней n и m соответственно.
В частности, с помощью широко распространённой замены
решаются так называемые возвратные уравнения, то есть уравнения вида
ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0, a ≠ 0.
Покажем, как это делается. Так как a ≠ 0, то число x = 0 не является корнем этого уравнения. Разделим уравнение на x2 ≠ 0, получим
А так как
то после замены
уравнение сводится к квадратному
Дадим два практических совета.
Совет 1. Замену переменных нужно делать сразу, при первой же возможности.
Совет 2. Уравнение относительно новой переменной нужно решать до конца, и лишь затем возвращаться к старому неизвестному.