Главная   Онлайн учебники   База репетиторов России   Тренажеры по математике   Подготовка к ЕГЭ 2017 онлайн



Глава 2. Алгебраические выражения

2.2.

Назад Вперед
Назад Вперед

2.2.4.

 

Пусть теперь По определению полагают, что
Если же a > 0, то по определению полагают, что

Понятие нецелой степени отрицательного числа не имеет смысла.

Пример 1

Вычислить 1) 2) 3)

Показать решение

Пусть a > 0, b > 0, rs − любые рациональные числа. Тогда степень с любым рациональным показателем обладает следующими свойствами.

  1. ar · as = ar + s.
  2. ar : as = ar – s
  3. (ar)s = ars.
  4. ar · br = (ab)r.
Пример 2

Упростите выражения 1) 2)

Показать решение

 

Итак, для любого действительного числа мы определили операцию возведения в натуральную степень; для любого числа мы определили возведения в нулевую и целую отрицательную степень; для любого мы определили операцию возведения в положительную дробную степень; для любого мы определили операцию возведения в отрицательную дробную степень.

Возникает естественный вопрос: можно ли каким-либо образом определить операцию возведения в иррациональную степень, а, следовательно, определить смысл выражения ax и для любого действительного числа x? Оказывается, что для положительных чисел a можно придать смысл записи aα , где α − иррациональное число. Для этого нужно рассмотреть три случая: a = 1, a > 1, 0 < a < 1.

  1. Если a = 1, то по определению полагают, что 1α = 1.
  2. Если a > 1, то выберем любое рациональное число r1 < α и любое рациональное число r2 > α. Тогда, очевидно, r1 < r2 и, следовательно:

    Но и потому (так как a > 1) и, наконец,

    Под понимают такое число, которое лежит между и при любом выборе чисел и обладающих свойством Можно доказать, что число существует и единственно для любого a > 1 и любого иррационального α.
  3. Если 0 < a < 1, то выберем любое рациональное число и любое рациональное число Тогда, очевидно, и, следовательно, (это неравенство доказывается аналогично приведённому выше для a > 1). Под понимают такое число, которое лежит между и при любом выборе чисел и обладающих свойством Можно доказать, что число существует и единственно для любого 0 < a < 1 и любого иррационального α.

Итак, для a > 0 мы определили степень с любым действительным показателем.

Пусть a > 0, b > 0, x и y − любые действительные числа. Тогда справедливы следующие свойства степени с любым действительным показателем:

  1. ax · ay = ax + y.
  2. ax : ay = ax – y.
  3. (ax)y = axy.
  4. ax · bx = (ab)x.

Выше мы определили значение выражения ab для всех вещественных a > 0 и всех вещественных b. Теперь мы можем определить степенную функцию.

 

Степенной функцией с вещественным показателем a называется функция y = xa, x > 0.

Заметим, что для натуральных a степенная функция определена на всей числовой оси, подробнее об этом см. курс «Открытая Математика 2.6. Функции и Графики», § 2.4.2. Для произвольных вещественных a это невозможно, поэтому степенная функция с вещественным показателем определена только для положительных x.

К основным свойствам степенной функции y = xa при a > 0 относятся:

  1. Область определения функции − промежуток (0; +∞).
  2. Область значений функции − промежуток (0; +∞).
  3. Для любых a график функции проходит через точку (1; 1).
  4. Функция строго монотонно возрастает на всей числовой прямой, то есть, если то
  5. График степенной функции при a > 0 изображён на рисунке.

1
Рисунок 2.2.4.1.
Степенная функция y = xa при a > 0
2
Рисунок 2.2.4.2.
Степенная функция y = xa при a < 0

К основным свойствам степенной функции y = xa при a < 0 относятся:

  1. Область определения функции − промежуток (0; +∞).
  2. Область значений функции − промежуток (0; +∞).
  3. Для любых a график функции проходит через точку (1; 1).
  4. Функция строго монотонно убывает на всей числовой прямой, то есть если то
  5. График степенной функции при a < 0  изображён на рисунке.

Справедливы следующие свойства степенной функции:

  1. если n > k.
  2. на участке x > 1, если
  3. на участке 0 < x < 1, если


Назад Вперед
Наверх

Включить/Выключить фоновую музыкуВключить/Выключить звуки событий

Главная   Онлайн учебники   База репетиторов России   Тренажеры по математике   Подготовка к ЕГЭ 2017 онлайн

Смотрите также: Математика, Английский язык, Химия, Биология, Физика, География, Астрономия.
А также: online подготовка к ЕГЭ на College.ru, библиотека ЭОРов и обучающие программы на Multiring.ru.