Главная   Онлайн учебники   База репетиторов России   Тренажеры по математике   Подготовка к ЕГЭ 2017 онлайн



Глава 2. Алгебраические выражения

2.1.

Назад Вперед
Назад Вперед

2.1.5.

Как мы видели выше, методом выделения полного квадрата можно найти корни квадратного трехчлена. В случае многочленов высших степеней найти корни становится гораздо труднее, а иногда и просто невозможно. Попробуем это сделать там, где это достаточно просто.

Рассмотрим многочлен
где a1a2, ..., an − целые числа, an ≠ 0.

Теорема о рациональных корнях многочлена

Если многочлен
с целыми коэффициентами имеет рациональный корень то число p является делителем числа (свободного члена), а число q является делителем числа (старшего коэффициента).

Доказательство
 

Замечание. Эта теорема фактически позволяет находить корни многочленов высших степеней в том случае, когда коэффициенты этих многочленов − целые числа, а корень − рациональное число. Теорему можно переформулировать так: если нам известно, что коэффициенты многочлена − целые числа, а корни его − рациональны, то эти рациональные корни могут быть только вида где p является делителем числа (свободного члена), а число q является делителем числа (старшего коэффициента).

Пусть все коэффициенты многочлена являются целыми числами, и пусть целое число a является корнем этого многочлена. Так как в этом случае то отсюда следует, что коэффициент делится на a.

Пример 1

Разложить на множители многочлен x3 – 5x2 – 2x + 16.

Показать решение

Пример 2

Разложить на множители многочлен x4 + 5x3 – 7x2 – 5x + 6.

Показать решение

 

Говорят, что многочлен P (xделится на двучлен (x – a), где a − задано, если P (x) можно представить в виде
P (x) = Q (x)(x – a) + r
где Q (x) − многочлен степени на 1 меньше, чем P (x), а r − некоторое число, которое называется остатком от деления многочлена P (x) на (x – a). Если r = 0, то говорят, что многочлен P (x) делится на x – a без остатка.

Теорема Безу

Остаток от деления многочлена P (x) на двучлен (xa) равен P (a), то есть
P (x) = Q (x)(x – a) + P (a).

Следствие

Число a является корнем многочлена P (x) тогда и только тогда, когда этот многочлен делится на (x – a) без остатка:
P (x) = Q (x)(x – a),
где Q (x) – многочлен степени, на 1 меньшей, чем P (x).

Доказательство
 

Назад Вперед
Наверх

Включить/Выключить фоновую музыкуВключить/Выключить звуки событий

Главная   Онлайн учебники   База репетиторов России   Тренажеры по математике   Подготовка к ЕГЭ 2017 онлайн

Смотрите также: Математика, Английский язык, Химия, Биология, Физика, География, Астрономия.
А также: online подготовка к ЕГЭ на College.ru, библиотека ЭОРов и обучающие программы на Multiring.ru.