Главная   Онлайн учебники   База репетиторов России   Тренажеры по математике   Подготовка к ЕГЭ 2017 онлайн



Глава 2. Алгебраические выражения

2.1.

Назад Вперед
Назад Вперед

2.1.4.

Общая теория многочленов многих переменных далеко выходит за рамки школьного курса. Поэтому мы ограничимся изучением многочленов одной действительной переменной, да и то в простейших случаях. Рассмотрим многочлены одной переменной, приведённые к стандартному виду.

 

Многочлен ax + b, где  ab − числа, x − переменная, называется многочленом первой степени.

 

Многочлен где  abc − числа, x − переменная, называется многочленом второй степени (квадратным трёхчленом, квадратичной функцией).

 

Многочлен где  abcd − числа, x − переменная, называется многочленом третьей степени.

 

Вообще, многочлен
 Pn(x) = anxn + an – 1xn – 1 + an – 2xn – 2 + ... + a1x + a0,
где   − числа, x − переменная, называется многочленом n-ной степени. Традиционно называется старшим коэффициентом, а свободным членом многочлена.

В дальнейшем мы будем рассматривать многочлены с действительными коэффициентами.

Модель 2.1. Степенная функция
 

Действительное число a называется корнем многочлена Pn (x), если Pn (a) = 0.

Корень многочлена первой степени легко угадывается: В самом деле:

Корни квадратного трехчлена можно найти, если воспользоваться так называемым методом выделения полного квадрата. Его суть проще всего увидеть на примере. Выполним следующие преобразования квадратного трехчлена:
Выражение D = b2 – 4ac называется дискриминантом квадратного трехчлена. Продолжим преобразования в предположении, что D ≥ 0:
Воспользуемся теперь формулой сокращённого умножения для разности квадратов.

Обозначим и Тогда последнее разложение квадратного трехчлена имеет вид:
ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2).
Отсюда непосредственно видно, что числа x1 и x2 являются корнями квадратного трехчлена ax2 + bx + c. Полученная формула ввиду своей важности называется формулой разложения квадратного трехчлена на множители.

Квадратный трехчлен раскладывается на множители:
ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2),
где и   в том случае, если D ≥ 0.

Если D < 0, то такое разложение на множители невозможно и квадратный трехчлен ax2 + bx + c не имеет действительных корней.

Итак, установлено, что если D ≥ 0, то квадратный трехчлен имеет два корня (при D = 0 они совпадают). Если же D < 0, то трехчлен не имеет действительных корней.

Пример 1

Разложить на множители квадратный трехчлен x2 – 4x + 3.

Показать решение

 

Несмотря на то, что в дальнейшем, рассматривая многочлены, мы будем искать только действительные корни, сделаем в этом разделе небольшое отступление и покажем, что у квадратного трехчлена при любом D существуют два, в общем случае комплексных, корня. Аналогично, у любого многочлена степени n на множестве комплексных чисел есть n корней, некоторые из них могут совпадать.

Пользуясь понятием комплексного числа как расширения понятия числа действительного, можно найти корни квадратного трехчлена и при D < 0. Итак, на множестве комплексных чисел квадратное уравнение:
всегда имеет два комплексных корня:

Очевидно, что при условии, что abc – действительные числа, корнями квадратного трехчлена могут быть:

  • два различных действительных числа;
  • одно действительное число;
  • сопряженные комплексные числа.

Пример 2

Решите уравнение

Показать решение

Для того чтобы установить одну важную теорему, касающуюся квадратного трехчлена, вычислим следующие комбинации корней этой функции:

Итак, нами доказана следующая теорема, принадлежащая великому французскому математику Виету.

Теорема Виета

Если квадратный трёхчлен где имеет корни, то справедливы следующие соотношения:

Пример 3

Пусть и − корни квадратичной функции Найти, чему равно значение выражения

Показать решение


Назад Вперед
Наверх

Включить/Выключить фоновую музыкуВключить/Выключить звуки событий

Главная   Онлайн учебники   База репетиторов России   Тренажеры по математике   Подготовка к ЕГЭ 2017 онлайн

Смена замков в металлической двери
Расчет стоимости двери. Противопожарные двери. Ремонт дверей
turbolock.ru
Смотрите также: Математика, Английский язык, Химия, Биология, Физика, География, Астрономия.
А также: online подготовка к ЕГЭ на College.ru, библиотека ЭОРов и обучающие программы на Multiring.ru.