Учебник. Карл Гаусс

Гаусс (Gauss) Карл Фридрих (30.4.1777, Брауншвейг, – 23.2.1855, Гёттинген), немецкий математик, внёсший фундаментальный вклад также в астрономию и геодезию. Родился в семье водопроводчика. С 1795 по 1798 учился в Гёттингенском университете. В 1799 получил доцентуру в Брауншвейге, в 1807 – кафедру математики и астрономии в Гёттингенском университете, с которой была также связана должность директора Гёттингенской астрономической обсерватории. На этом посту Гаусс оставался до конца жизни.

Отличительными чертами творчества Гаусса являются глубокая органическая связь в его исследованиях между теоретической и прикладной математикой, необычайная широта проблематики. Работы Гаусса оказали большое влияние на развитие высшей алгебры, теории чисел, дифференциальной геометрии, теории притяжения, классической теории электричества и магнетизма, геодезии, целых отраслей теоретической астрономии. Во многих областях математики труды Гаусс содействовали повышению требований к логической отчётливости доказательств, однако сам ученый оставался в стороне от работ по строгому обоснованию математического анализа, которые проводил в его время О. Коши.

Первое крупное сочинение Гаусса по теории чисел и высшей алгебре – «Арифметические исследования» (1801) – во многом предопределило дальнейшее развитие этих дисциплин. Гаусс даёт здесь обстоятельную теорию квадратичных вычетов, первое доказательство квадратичного закона взаимности — одной из центральных теорем теории чисел. Гаусс даёт также новое подробное изложение арифметической теории квадратичных форм, до того построенной Ж. Лагранжем, в частности тщательную разработку теории композиции классов таких форм. В конце книги излагается теория уравнений деления круга (т. е. уравнений xⁿ – 1 = 0), которая во многом была прообразом теории Галуа. Помимо общих методов решения этих уравнений, Гаусс установил связь между ними и построением правильных многоугольников. Он, впервые после древнегреческих учёных, сделал значительный шаг вперёд в этом вопросе, найдя все те значения n, для которых правильный n-угольник можно построить циркулем и линейкой; в частности, решив уравнение х¹⁷ – 1 = 0, он дал построение правильного 17-угольника при помощи циркуля и линейки. Гаусс придавал этому открытию очень большое значение и завещал выгравировать правильный 17-угольник, вписанный в круг, на своём надгробном памятнике, что и было исполнено.

Астрономические работы Гаусса в основном связаны с решением проблемы определения орбит малых планет и исследованием их возмущений. Свои результаты он опубликовал в сочинении «Теория движения небесных тел» (1809). В 1794–95 открыл и в 1821–23 разработал основной математический метод обработки неравноценных наблюдательных данных (метод наименьших квадратов).

Работы Гаусса по геодезии связаны с поручением провести геодезическую съёмку и составить детальную карту Ганноверского королевства. В результате теоретической разработки проблемы он создал основы высшей геодезии («Исследования о предметах высшей геодезии», 1842–47). Изучение формы земной поверхности потребовало углублённого общего геометрического метода для исследования поверхностей. Выдвинутые Гауссом в этой области идеи получили выражение в сочинении «Общие изыскания о кривых поверхностях» (1827). Руководящая мысль этого сочинения заключается в том, что при изучении поверхности как бесконечно тонкой гибкой плёнки основное значение имеет не уравнение поверхности в декартовых координатах, а дифференциальная квадратичная форма, через которую выражается квадрат элемента длины и инвариантами которой являются все собственные свойства поверхности — прежде всего её кривизна в каждой точке. Другими словами, Гаусс предложил рассматривать те свойства поверхности (т. н. внутренние), которые не зависят от изгибаний поверхности, не изменяющих длин линий на ней. Созданная таким образом внутренняя геометрия поверхностей послужила образцом для создания n-мepной римановой геометрии.

Исследования Гаусса по теоретической физике вляются в значительной мере результатом тесного общения и совместной научной работы с В. Вебером. Они создали абсолютную систему электромагнитных единиц и сконструировали в 1833 первый в Германии электромагнитный телеграф. В 1838 он издал труд «Общая теория земного магнетизма». Небольшое сочинение «О силах, действующих обратно пропорционально квадрату расстояния» (1834–40) содержит основы теории потенциала. К теоретической физике примыкают также разработка (1829) Гауссом принципа наименьшего принуждения и работы по теории капиллярности (1830).

Очень многие исследования Гаусса остались неопубликованными и в виде очерков, незаконченных работ, переписки с друзьями входят в его научное наследие. Вплоть до второй мировой войны оно тщательно разрабатывалось Гёттингенским учёным обществом, которое издало 12 томов сочинений Гаусса.