Учебник. Дифференциальные уравнения первого порядка

Уравнение вида $f\left(x\mathrm{, }y\mathrm{, }{y}^{\mathrm{\prime }}\right)=0$ называется обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка. Рассмотрим способы решения некоторых его типов.

Для уравнений вида $\frac{dy}{dx}=f\left(x\mathrm{, }y\right)$ с заданными граничными условиями доказана теорема существования и единственности.

Пусть в области D плоскости (x, y) функция f (x, y) и ее частная производная $\frac{\partial f\left(x\mathrm{, }y\right)}{\partial y}$ непрерывны. Тогда через каждую точку (x₀; y₀) этой области проходит одна и только одна интегральная кривая.

1. Автономное уравнение

Домножим обе части уравнения на dx и проинтегрируем обе части получившегося уравнения: $\int dy=\int f\left(x\right)dx\mathrm{.}$ Таким образом, $y=\int f\left(x\right)dx\mathrm{.}$

2. Уравнение с разделяющимися переменными $\frac{dy}{dx}=f\left(x\right)g\left(y\right)\mathrm{.}$

Это уравнение сводится к системе $\{\begin{array}{l}\frac{dy}{g\mathrm{ (}y\mathrm{)}}=f\mathrm{ (}x\mathrm{)}dx\mathrm{, }g\mathrm{ (}y\mathrm{)}\ne 0\mathrm{;}\\ y=const\mathrm{, }g\mathrm{ (}y\mathrm{)}=0.\end{array}$ В первом уравнении после интегрирования находим y как неявную функцию от x: $\int \frac{dy}{g\left(y\right)}=\int f\left(x\right)dx\mathrm{.}$

3. Однородное уравнение $\frac{dy}{dx}=f\left(\frac{y}{x}\right)\mathrm{.}$

Пусть $z=\frac{y}{x}\mathrm{.}$ Тогда y = zx и $\frac{dy}{dx}=x\frac{dz}{dx}+z$ и $\frac{dz}{dx}=\frac{f\left(z\right)-z}{x}\mathrm{.}$

Задача сводится к решению уравнения с разделяющимися переменными, где F(x) = f(x) – z, $g\mathrm{(}x\mathrm{)}=\frac{1}{x}\mathrm{.}$

4. Линейное однородное уравнение $\frac{dy}{dx}=a\left(x\right)y$ является уравнением с разделяющимися переменными и интегрируется по частям: $\int \frac{dy}{y}=\int a\left(x\right)dx\mathrm{,}$ откуда $y\left(x\right)=Cexp\left(\int a\left(x\right)dx\right)\mathrm{.}$

5. Линейное уравнение $\frac{dy}{dx}=a\left(x\right)y+b\left(x\right)\mathrm{.}$

Будем искать решение этого уравнения в виде $y\left(x\right)=C\left(x\right)exp\left(\int a\left(x\right)dx\right)\mathrm{,}$ где C (x) – неизвестная функция. Тогда $\frac{dC}{dx}=b\left(x\right)exp\left(\mathrm{-}\int a\left(x\right)dx\right)\mathrm{.}$ Вычисляя отсюда C (x) и подставляя эту функцию в предыдущее равенство, находим решение y (x).