Учебник. Несобственные интегралы

Определенный интеграл был введен для ограниченных на отрезке функций. Естественно распространить это понятие на случай бесконечных промежутков и бесконечно больших функций.

Пусть f (x) определена при x ≥ a и интегрируема на отрезке [a; ξ], где ξ ≥ a. Если существует конечный предел $\underset{\xi \to \mathrm{+}\infty }{lim}\underset{a}{\overset{\xi }{\int }}f\left(x\right)dx\mathrm{,}$ то говорят, что функция f интегрируема в несобственном смысле на промежутке [a; +∞), а несобственный интеграл $\underset{a}{\overset{\mathrm{+}\infty }{\int }}f\left(x\right)dx$ сходится: $\underset{a}{\overset{\mathrm{+}\infty }{\int }}f\left(x\right)dx=\underset{\xi \to \mathrm{+}\infty }{lim}\underset{a}{\overset{\xi }{\int }}f\left(x\right)dx\mathrm{.}$

Если $\underset{a}{\overset{\xi }{\int }}f\left(x\right)dx$ не имеет конечного предела при ξ → +∞, то говорят, что несобственный интеграл расходится.

Аналогично определяется несобственный интеграл $\underset{\mathrm{-}\infty }{\overset{a}{\int }}f\left(x\right)dx\mathrm{.}$

Так, интеграл $\underset{\mathrm{-}\infty }{\overset{\mathrm{+}\infty }{\int }}\frac{1}{1+x^2}dx$ сходится и равен $J=\underset{\xi \to \mathrm{-}\infty }{lim}\underset{\xi }{\overset{0}{\int }}\frac{1}{1+x^2}dx+\underset{\xi \to \mathrm{+}\infty }{lim}\underset{0}{\overset{\xi }{\int }}\frac{1}{1+x^2}dx=\mathrm{-}\underset{\xi \to \mathrm{-}\infty }{lim}arctgx+\underset{\xi \to \mathrm{+}\infty }{lim}arctgx=\pi \mathrm{.}$ Этот ответ можно интерпретировать как площадь фигуры, ограниченной графиком функции и осью OX.

Пусть функция f (x) определена на конечном промежутке [a; b) и интегрируема на отрезке [a; ξ] при любом $\xi \in \left[a\mathrm{; }b\right)\mathrm{.}$ Если существует конечный предел $\underset{\xi \to b-0}{lim}\underset{a}{\overset{\xi }{\int }}f\left(x\right)dx\mathrm{,}$ то говорят, что несобственный интеграл от функции f (x) на промежутке [a; b) сходится: $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx=\underset{\xi \to b-0}{lim}\underset{a}{\overset{\xi }{\int }}f\left(x\right)dx\mathrm{.}$

Если $\underset{a}{\overset{\xi }{\int }}f\left(x\right)dx$ не имеет конечного предела при ξ → b, то говорят, что несобственный интеграл расходится.

Аналогично определяется несобственный интеграл для функции, определенной на (a; b].

Если функция f определена на отрезке [a; b] за исключением точки $c\in \left[a\mathrm{; }b\right]$ и интегрируема на отрезках [a; ξ] и [η; b] при любых ξ и η таких, что a ≤ ξ < c < η ≤ b, то несобственный интеграл от функции f на промежутке [a; b] обозначается $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx$ и равен $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx=\underset{\xi \to c-0}{lim}\underset{a}{\overset{\xi }{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{\eta \to c+0}{lim}\underset{\eta }{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx\mathrm{.}$

В дальнейшем без ограничения общности будем предполагать, что функция f определена на [a; b), где a – конечная точка, b – конечная точка либо +∞, и функция f интегрируема на [a; ξ] при любом $\xi \in \left[a\mathrm{; }b\right)\mathrm{.}$ В этих предположениях несобственные интегралы обладают следующими свойствами:

• линейность несобственного интеграла: $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{a}{\overset{b}{\int }}g\left(x\right)dx\mathrm{,}$ $\underset{a}{\overset{b}{\int }}Af\left(x\right)dx=A\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx\mathrm{;}$
• формула Ньютона – Лейбница: если существует конечный предел $\underset{\xi \to b-0}{lim}F\left(\xi \right)=F\left(b-0\right)\mathrm{,}$ то $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx=F\left(b-0\right)-F\left(a\right)\mathrm{.}$