Учебник. Определенные интегралы в физике

Мы уже упоминали, что интегральное исчисление применяется для нахождения пути, пройденного материальной точкой, по закону изменения его скорости. Какие еще задачи решают при помощи понятия интеграла в физике?

Движение с переменным ускорением

1. Пусть материальная точка движется с ускорением a (t). Тогда ее скорость равна $v\left(t\right)=\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}a\left(t\right)dt+v_0\mathrm{,}$ а перемещение – $x\left(t\right)=\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}v\left(t\right)dt+x_0\mathrm{,}$ где v₀, x₀ – постоянные, определяемые из начальных условий, t₀ и t – начальный и конечный моменты времени.

2.

Центр масс

Пусть плотность ρ (x) стержня с постоянным сечением S зависит от расстояния до начала стержня. Тогда масса стержня равна $M=S\underset{0}{\overset{L}{\int }}\rho \left(x\right)dx\mathrm{,}$ где L – длина стержня, а центр масс стержня находится на расстоянии $x_0=\frac{\underset{M}{\int }xdm}{M}=\frac{\underset{0}{\overset{L}{\int }}x\rho \left(x\right)dx}{\underset{0}{\overset{L}{\int }}\rho \left(x\right)dx}\mathrm{.}$

3. Работа газа при его расширении от объема V₁ до объема V₂ равна $A_{12}=\underset{V_1}{\overset{V_2}{\int }}P\mathrm{ d}V\mathrm{,}$ где P (V) – давление газа в этом процессе.

Работа газа