Учебник. Формула Ньютона – Лейбница

Если функция f интегрируема на [a; b], то функция F (x) непрерывна на этом отрезке.

Если функция f интегрируема на [a; b] и непрерывна в $x_0\in \left[a\mathrm{; }b\right]\mathrm{,}$ то функция F (x) дифференцируема в $x_0\mathrm{,}$  причем $F^{\mathrm{\prime }}\left(x_0\right)=f\left(x_0\right)\mathrm{.}$

Если функция f непрерывна на [a; b], то на этом отрезке она имеет первообразную F вида $F\left(x\right)=\underset{a}{\overset{x}{\int }}f\left(t\right)dt+C\mathrm{,}$ где C – постоянная. Всякая первообразная функции f на отрезке [a; b] удовлетворяет этой формуле.

Одним из основных результатов математического анализа является теорема Ньютона – Лейбница:

Таким образом, для вычисления определенного интеграла нужно найти какую-либо первообразную F функции f, вычислить ее значения в точках a и b и найти разность F (b) – F (a).

Пусть f (x) непрерывна на [a; b], g (t) имеет непрерывную производную на [α; β], $g\left(t\right)\in \left[a\mathrm{; }b\right]\mathrm{.}$ Тогда если a = g (α), b = g (β), то справедлива формула замены переменной в определенном интеграле: $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx=\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}f\left(g\left(t\right)\right)g^{\mathrm{\prime }}\left(t\right)dt\mathrm{.}$

Если функции u (x) и v (x) имеют на [a; b] непрерывные производные, то справедлива формула интегрирования по частям: $\underset{a}{\overset{b}{\int }}u{v}^{\mathrm{\prime }}dx={\left(uv\right)|}_a^b-\underset{a}{\overset{b}{\int }}v{u}^{\mathrm{\prime }}dx\mathrm{.}$