Учебник. Определенный интеграл

Определение криволинейной трапеции

Пусть функция f (x) непрерывна и не меняет знак на отрезке [a; b]. Плоскую фигуру Ф, ограниченную графиком функции f (x), осью абсцисс и прямыми x = a и x = b, называют криволинейной трапецией.

В курсе геометрии было введено понятие площади фигуры S (Ф). Напомним, что площадь обладает следующими свойствами:

• площадь любой фигуры неотрицательна: S (Ф) ≥ 0;
• равные фигуры имеют равные площади: если Ф₁ = Ф₂, то S (Ф₁) = S (Ф₂);
• площадь фигуры равна сумме площадей ее частей;
• площадь квадрата со стороной 1 равна единице.

Площадь фигуры Ф

В каждую фигуру можно вписать множество равных маленьких квадратов, не имеющих общих внутренних точек и целиком лежащих внутри фигуры Ф. Пусть сумма их площадей равняется s_T. Точно так же можно построить такое множество квадратов, которое полностью покрывает фигуру Ф. Обозначим сумму их площадей буквой S_T. Очевидно, что s_T ≤ S_T.

Можно доказать, что если неотрицательная функция f (x) непрерывна на отрезке [a; b], то ее криволинейная трапеция имеет площадь S (Ф), которая подчиняется неравенству s_T ≤ S (Ф) ≤ S_T, причем s_T и S_T стремятся к S (Ф) при неограниченном уменьшении площади каждого квадрата. Этот предел S (Ф) не зависит от способа дробления фигуры Ф на квадраты.

Рассмотрим непрерывную и неотрицательную на [a; b] функцию f (x). Разобьем отрезок [a; b] на n отрезков точками x₁,..., x_n–1. Проведем через эти точки прямые, перпендикулярные оси абсцисс. Тогда криволинейная трапеция Ф, соответствующая графику функции y = f (x), разобьется на n частей, каждая из которых также является криволинейной трапецией.

Обозначим Δx_i = x_i – x_i–1, x₀ = a, x_n = b и выберем каким-нибудь образом точки ${\xi }_i\in \left[x_{i-1}\mathrm{; }{x}_i\right]\mathrm{.}$ Произведение Δx_i · f (ξ_i) является площадью прямоугольника, ограниченного осью абсцисс, прямыми x = x_i–1 и x = x_i и горизонтальной прямой y = f (ξ_i). Суммарная площадь ступенчатой фигуры, являющейся объединением всех прямоугольников, равна ${\sigma }_{\mathrm{T}}=\sum _{i=1}^{n}f\left({\xi }_i\right)\Delta x_i\mathrm{.}$

Она зависит от выбора количества n прямоугольников и точек ξ_i. При достаточно мелком разбиении эта ступенчатая фигура будет мало отличаться от исходной фигуры Ф в том смысле, что можно доказать существование предела $S=\underset{n\to \infty }{lim}\sum _{i=1}^{n}f\left({\xi }_i\right)\Delta x_i\mathrm{,}$ который и принимается равным площади криволинейной трапеции Ф.

Число J называется определенным интегралом от функции f (x) на отрезке [a; b], если для любого ε > 0 существует такое $n\in \mathbb{N}\mathrm{,}$ что для разбиения отрезка [a; b] на равные части n точками и для любого выбора точек ${\xi }_i\in \left[x_{i-1}\mathrm{; }{x}_i\right]$ выполняется неравенство $\left|\sum _{i=1}^{n}f\left({\xi }_i\right)\Delta x_i-J\right|<\epsilon \mathrm{.}$ Заметим, что в этом определении предполагается, что функция может быть как положительной, так и отрицательной.

Если число J существует, то функция f (x) называется интегрируемой на отрезке [a; b]. Определенный интеграл обозначается $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx\mathrm{;}$ числа a и b называются пределами интегрирования.

Если функция f (x) интегрируема на отрезке [a; b], то она ограничена на этом отрезке.

Обратное, вообще говоря, неверно. Так, функция Дирихле $f\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}\mathrm{1,}\hfill & \mathrm{ x}\in \mathbb{Q}\hfill \\ \mathrm{0,}\hfill & \mathrm{ x}\notin \mathbb{Q}\hfill \end{array}$ ограничена на любом отрезке, но не интегрируема на нем.

Если функция непрерывна на отрезке, то она интегрируема на нем.

Если функция определена на отрезке и монотонна, то она интегрируема на нем.

Выберем на отрезке $\left[x_{i-1},\mathrm{;},,x_i\right]$ максимальное и минимальное значения функции f (x): $M_i=\underset{x\in \left[x_{i-1}\mathrm{; }{x}_i\right]}{sup}f\left(x\right)\mathrm{,}$   $m_i=\underset{x\in \left[x_{i-1}\mathrm{; }{x}_i\right]}{inf}f\left(x\right)\mathrm{.}$ Обозначим через T некоторое разбиение отрезка [a; b] точками $x_1\mathrm{,}\mathrm{...}{x}_n$

Верхней суммой Дарбу называется выражение $S_T=\sum _{i=1}^n{M}_i\Delta x_i\mathrm{.}$

Нижней суммой Дарбу называется $s_T=\sum _{i=1}^n{m}_i\Delta x_i\mathrm{.}$

Определенный интеграл

Свойства сумм Дарбу (здесь ${\sigma }_T\left(\xi \right)=\sum _{i=1}^{n}f\left({\xi }_i\right)\Delta x_i\mathrm{}$ ):

• для любых ξ справедливы неравенства s_T ≤ σ_T (ξ) ≤ S_T;
• справедливы равенства $S_T=\underset{\xi }{sup}{\sigma }_T\left(\xi \right)\mathrm{,}$  $s_T=\underset{\xi }{inf}{\sigma }_T\left(\xi \right)\mathrm{;}$
• при увеличении числа отрезков n нижняя сумма Дарбу не уменьшается, а верхняя – не увеличивается;
• для любых разбиений T₁ и T₂ $s_{T_1}\le S_{T_2}\mathrm{.}$

Если функция интегрируема на отрезке, то ее определенный интеграл на этом отрезке $J=sup{s}_T=inf{S}_T\mathrm{.}$