Учебник. Основные приемы интегрирования

Простейшие задачи, в которых нужно проинтегрировать элементарные функции, решаются при помощи таблицы первообразных. В более сложных случаях нужно знать ряд приемов, сводящих в конечном итоге вычисляемый интеграл к интегралам от табличных функций. Одним из таких приемов является метод замены переменного.

Пусть определены дифференцируемые функции f (x) и g (t), а также сложная функция g (f (x)). Пусть $G^{\mathrm{\prime }}\left(t\right)=g\left(t\right)\mathrm{.}$ Тогда $G^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=G^{\mathrm{\prime }}\left(f\right)f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=g\left(f\left(x\right)\right)f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)$ Это означает, что $\int g\left(f\left(x\right)\right)f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)dx=\int g\left(f\left(x\right)\right)df\left(x\right)=G\left(f\left(x\right)\right)+C\mathrm{.}$

Иногда, вычисляя интеграл $\int f\left(x\right)dx\mathrm{,}$ полезно перейти к новой переменной. Пусть x = g (t) монотонная дифференцируемая функция, $t$ – обратная ей функция. Тогда $f\left(x\right)dx=f\left(g\left(t\right)\right)g^{\mathrm{\prime }}\left(t\right)dt\mathrm{.}$ Обозначая $u\left(t\right)=f\left(g\left(t\right)\right)g^{\mathrm{\prime }}\left(t\right)\mathrm{,}$ получим f (x) dx = u (t) dt. Если $\int u\left(t\right)dt=U\left(t\right)+C\mathrm{,}$ то $\int f\left(x\right)dx=\int u\left(t\right)dt=U\left(t\right)+C=U\left(g^{\mathrm{-}1}\left(x\right)\right)+C\mathrm{.}$

Этот метод называется методом подстановки.

Пусть функции u (x) и v (x) имеют непрерывные на D производные. Тогда $\int u{v}^{\mathrm{\prime }}dx=\int udv=uv-\int vdu\mathrm{.}$

Функция uv имеет непрерывную производную на D, и $u{v}^{\mathrm{\prime }}={\left(uv\right)}^{\mathrm{\prime }}-v{u}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{.}$ Интегрируя обе части этого равенства, получим $\int u{v}^{\mathrm{\prime }}dx=uv+C-\int vdu\mathrm{.}$ Относя константу интегрирования к интегралу $\int vdu\mathrm{,}$ получаем доказываемую формулу.

Эта формула описывает метод интегрирования по частям. Она сводит вычисление интеграла $\int udv$ к вычислению интеграла $\int vdu\mathrm{.}$