Учебник. Первообразная

Зная закон движения тела, можно, продифференцировав функцию перемещения тела по времени, в любой момент найти его скорость. Часто требуется решить обратную задачу, то есть найти перемещение тела, зная, как изменяется его скорость. Эта и подобные задачи решаются при помощи интегрирования – операции, обратной дифференцированию.

Функция F, заданная на некотором промежутке D, называется первообразной функции f, заданной на том же промежутке, если для любого $x\in D$ $F^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=f\left(x\right)\mathrm{.}$

Так, функция $F=\frac{x^3}{3}$ является первообразной функции $f\mathrm{,}$  в чем можно убедиться, поставив эти функции в определение первообразной. Функция $F=\frac{x^3}{3}+1$ также является первообразной функции $f\mathrm{.}$  

Если функция F является первообразной функции f, то все функции вида F + C, где C – константа, и только они являются первообразными функции f.

Таким образом, для любой функции ее первообразная F определяется неоднозначно. Для того, чтобы задать ее однозначно, нужно указать точку A (x₀; y₀), удовлетворяющую уравнению y = F (x).

Первообразные основных элементарных функций приведены в таблице.