Учебник. Линеаризация элементарных функций

Рассмотрим функции y = sin x и y = x в окрестности точки x = 0. Увеличивая масштаб графика, можно убедиться, что sin x ≈ x при x → 0. Более точное приближение дает $sinx\approx x-\frac{x^3}{6}$ при x → 0. Добавляя в эту формулу все более и более высокие степени x с определенными коэффициентами, мы будет получать все более и более точное представление функции sin x многочленом. Такой многочлен называют многочленом Тейлора.

В общем случае функция f (x) представляется в бесконечно малой окрестности точки x₀ многочленом Тейлора, задаваемым формулой $f\left(x\right)=\sum _{k=0}^n\frac{f^{\left(k\right)}\left(x_0\right)}{k\mathrm{!}}{\left(x-x_0\right)}^k+o\left({\left(x-x_0\right)}^n\right)\mathrm{,}$ где o ((x – x₀)ⁿ) – бесконечно малая относительно (x – x₀)ⁿ функция. Естественно, данная формула справедлива, если в точке x₀ существуют производные функции f вплоть до f ⁽ⁿ⁾. Напомним, что операция факториал определяется следующим образом: n! = 1 · 2 · 3 ·…· (n – 1) · n, (2n)!! = 2 · 4 ·…· (2n – 2) · 2n, (2n + 1)!! = 1 · 3 ·…· (2n – 1) · (2n + 1), 0! = 1.

В окрестности x = 0 формула Тейлора приобретает вид $f\left(x\right)=\sum _{k=0}^n\frac{f^{\left(k\right)}\left(0\right)}{k\mathrm{!}}{x}^k+o\left(x^n\right)\mathrm{.}$

Эта формула называется формулой Маклорена.

Приведем формулы разложения по степеням x некоторых элементарных функций при x → 0.

Формулы Тейлора и Маклорена используются при приближенных вычислениях и для нахождения пределов функций. В частности, ряд Тейлора применяется для вычисления пределов вида $\underset{x\to x_0}{lim}{\left(f,\left(x\right)\right)}^{g\left(x\right)}$ где f (x) > 0, $\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)=1$   $\underset{x\to x_0}{lim}g\left(x\right)=\infty$ Если $x_0=0$  $f\left(x\right)\sim 1+a{x}^k\mathrm{,}$    $\frac{1}{g\left(x\right)}\sim b{x}^k$ при x → 0, где a ≠ 0, b ≠ 0, $k\in \mathbb{N}$ то $\underset{x\to 0}{lim}{\left(1,,+,,a,x^k\right)}^{\frac{1}{b{x}^k}}=e^{\frac{a}{b}}$ Если $f\left(x\right)=\frac{1+a_1{x}^k+o\left(x^k\right)}{1+a_2{x}^k+o\left(x^k\right)}$  $g\left(x\right)=\frac{1}{b{x}^k+o\left(x^k\right)}$ при x → 0, причем $a_1\ne 0\mathrm{,}{a}_2\ne 0\mathrm{,}b\ne 0$ то $\underset{x\to 0}{lim}{\left(f,\left(x\right)\right)}^{g\left(x\right)}=e^{\frac{a_1-a_2}{b}}$

Если $f\left(x\right)\sim 1+a{x}^n$   $\frac{1}{g\left(x\right)}\sim b{x}^m$ где $a\ne 0\mathrm{,}b\ne 0\mathrm{,}m\mathrm{,}n\in \mathbb{N}$ то $\underset{x\to 0}{lim}{\left(f,\left(x\right)\right)}^{g\left(x\right)}=1$ при n > m. $\underset{x\to 0}{lim}{\left(f,\left(x\right)\right)}^{g\left(x\right)}=\{\begin{array}{c}\mathrm{+}\infty \mathrm{,}m>n\mathrm{,}ab>0\\ 0\mathrm{,}m>n\mathrm{,}ab<0\end{array}\mathrm{,}$ если m > n и m – n – четное число. Если же m > n и m – n – нечетное число, то $\underset{x\to 0}{lim}{\left(f,\left(x\right)\right)}^{g\left(x\right)}$ не существует.