Учебник. Производные второго порядка

Когда мы дифференцируем функцию, каждой точке этой функции мы ставим в соответствие некоторое число – ее производную в данной точке. Таким образом, производная функции также является функцией.

Если функция $f^{\mathrm{\prime }}$ дифференцируема, то ее производную называют второй производной от f и обозначают $f^{\mathrm{\prime \prime }}$: $f^{\mathrm{\prime \prime }}={\left(f^{\mathrm{\prime }}\right)}^{\mathrm{\prime }}$

Вторая производная от параметрической функции x = x (t) и y = y (t) задается формулой: ${y^{\mathrm{\prime \prime }}}_{xx}=\frac{{y^{\mathrm{\prime \prime }}}_{tt}{x^{\mathrm{\prime }}}_t-{y^{\mathrm{\prime }}}_t{x^{\mathrm{\prime \prime }}}_{tt}}{{\left({x^{\mathrm{\prime }}}_t\right)}^3}\mathrm{.}$

Вторую производную иногда обозначают: $f_{xx}^{\mathrm{\prime \prime }}\mathrm{, }\frac{d^{2}f}{d{x}^2}\mathrm{.}$ В физике вторую производную функции по времени нередко обозначают двумя точками: $\stackrel{ċċ}{f}\mathrm{.}$

Вторая производная определяет скорость изменения скорости или ускорение. Так, если x – координата материальной точки, движущейся со скоростью $v=\dot{x}\mathrm{,}$ то ускорение этой точки равно $a=\dot{v}=\stackrel{ċċ}{x}\mathrm{.}$

Важным применением второй производной является анализ выпуклости функции.

Аналогичным образом задаются производные высших порядков. Если функция f ^(n–1) дифференцируема, то ее производную называют производной n-го порядка f ⁽ⁿ⁾ функции f.