Учебник. Производные элементарных функций

Найдем производные некоторых уже известных нам элементарных функций.

а) Тригонометрические функции.

По свойству предела произведения ${\left(sinx\right)}^{\mathrm{\prime }}=\underset{\Delta x\to 0}{lim}cos\left(x+\frac{\Delta x}{2}\right)\underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{sin\frac{\Delta x}{2}}{\Delta x/2}=cosx$ (мы воспользовались первым замечательным пределом   $\underset{x\to 0}{lim}\frac{sinx}{x}=1$). Итак, ${\left(sinx\right)}^{\mathrm{\prime }}=cosx\mathrm{.}$

Аналогичные рассуждения приводят к выводу, что ${\left(cosx\right)}^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{-}\sin \mathrm{ x}\mathrm{.}$

Производные тангенса и котангенса можно найти как производные частного: ${\left(tgx\right)}^{\mathrm{\prime }}=\frac{1}{{\cos }^2\mathrm{ x}}\mathrm{,}$  ${\left(ctgx\right)}^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{-}\frac{1}{{\sin }^2\mathrm{ x}}\mathrm{.}$

б) Обратные тригонометрические функции.

Рассмотрим функцию y = arcsin x. На отрезке $\left[\mathrm{-}\frac{\pi }{2}\mathrm{; }\frac{\pi }{2}\right]$ обратной к ней функцией будет x = sin y. Продифференцируем эту функцию по x, считая y функцией от x: $1=cosyċy^{\mathrm{\prime }}$ или $y^{\mathrm{\prime }}=\frac{1}{cosy}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$  (на интервале $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)\mathrm{).}$ Аналогично выводятся формулы и для других обратных функций. Получаем: ${\left(arcsinx\right)}^{\mathrm{\prime }}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{,}$  ${\left(arccosx\right)}^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{-}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{,}$ ${\left(arctgx\right)}^{\mathrm{\prime }}=\frac{1}{1+x^2}\mathrm{,}$  ${\left(arcctgx\right)}^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{-}\frac{1}{1+x^2}\mathrm{.}$

в) Степенная и показательная функции. Рассмотрим функцию y = a^x. Для нее $\underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{a^{x+\Delta x}-a^x}{\Delta x}=a^x\underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}\mathrm{.}$   Но  $\underset{x\to 0}{lim}\frac{a^x-1}{x}=lna$ (это можно доказать, пользуясь определением числа e). Таким образом, если a > 0, a ≠ 1, то

В частности, ${\left(e^x\right)}^{\mathrm{\prime }}=e^x\mathrm{.}$

Это и обуславливает частое использование основания e в математике и физике. В некоторых учебниках экспоненциальная функция даже вводится как функция, определенная на всей числовой оси, для которой f' (x) = f (x) и f (0) = 1.

$\underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{{log}_a\left(\mathrm{ x}+\Delta x\right)-{log}_{a}x}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{{log}_a\left(1+\frac{\Delta x}{x}\right)}{\frac{\Delta x}{x}}\frac{1}{x}\mathrm{.}$   Но  $\underset{x\to 0}{lim}\frac{{log}_a\left(1+x\right)}{x}=\frac{1}{lna}$ (еще одно следствие замечательного предела $\underset{x\to \infty }{lim}{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x=e$). Таким образом, если a > 0, a ≠ 1, то ${\left({log}_a\mathrm{ x}\right)}^{\mathrm{\prime }}=\frac{1}{xlna}\mathrm{.}$

В частности, ${\left(lnx\right)}^{\mathrm{\prime }}=\frac{1}{x}\mathrm{.}$

При x > 0 для любого $\alpha \in ℝ$    ${\left(x^{\alpha }\right)}^{\mathrm{\prime }}={\left(e^{\alpha lnx}\right)}^{\mathrm{\prime }}=\frac{\alpha }{x}{e}^{\alpha lnx}=\frac{\alpha }{x}{x}^{\alpha }\mathrm{.}$ Таким образом, ${\left(x^{\alpha }\right)}^{\mathrm{\prime }}=\alpha x^{\alpha -1}\mathrm{.}$

Обобщим результаты вычислений в таблице.