Учебник. Правила дифференцирования

ГЛАВНАЯ

  

НОВОСТИ

  

УЧЕБНИК

  

ДОСТУП К БЕСПЛАТНЫМ УРОКАМ


Правила дифференцирования

Если функции f и g дифференцируемы в точке x 0 ,  то в этой же точке дифференцируемы сумма, произведение и частное (если g x 0 ≠0 ) этих функций, причем

f+g ′ = f ′ + g ′ ,
fg ′ = f ′ g+f g ′ ,
f g ′ = f ′ g-f g ′ g 2 .

    а) f x +g x ′ = lim Δx→0 f+g x+Δx -f+g x Δx = lim Δx→0 f x+Δx -f x Δx + g x+Δx -g x Δx . По свойству предела суммы получаем f x +g x ′ = f ′ x + g ′ x .

Постоянный множитель C можно выносить из-под знака производной: Cf ′ =C f ′ .

В частности, C ′ =0 .

    б) Функцию f ċ g можно записать в виде f ċ g= 1 4 f+g 2 - f-g 2 . Но u 2 x ′ = lim Δx→0 u 2 x+Δx - u 2 x Δx = lim Δx→0 u x+Δx -u x Δx ċ u x+Δx +u x . По свойству предела произведения получаем u 2 x ′ = u ′ x lim Δx→0 u x+Δx +u x =2u x   u ′ x . Используя доказанное равенство, получим, что f ċ g ′ = 1 4 f+g 2 ′ - f-g 2 ′ = 1 2 f+g f ′ + g ′ - f-g f ′ - g ′ . Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получим формулу f ċ g ′ = f ′ ċ g+f ċ g ′ .

    в) Для доказательства этой формулы заметим, что 1 g x ′ = lim Δx→0 1 g x+Δx - 1 g x Δx =- lim Δx→0 g x+Δx -g x g x g x+Δx Δx . Воспользовавшись свойством предела частного, получим 1 g x ′ =- lim Δx→0 g x+Δx -g x Δx lim Δx→0 g x g x+Δx =- g ′ x g 2 x . После этого представим f g как произведение функций f и 1 g , откуда и следует доказываемая формула.

Если f дифференцируема, то f n ,  где n∈ℕ , также дифференцируема, причем f n ′ =n f n-1 f ′ .

Доказательство этой формулы предоставляем читателю.

Если функция y = f (x) непрерывна и строго возрастает в окрестности точки x 0 ,  причем f ′ x 0 ≠0 , то функция x = φ (y), обратная к функции y = f (x), дифференцируема в точке y0 = f (x0), причем φ ′ y 0 = 1 f ′ x 0 .

Если функции y = f (x) и z = g (y) дифференцируемы в точках x0 и y0 = f (x0) соответственно, то сложная функция z = g (f (x)) дифференцируема в точке x0, причем z ′ x 0 = g ′ y 0 f ′ x 0 .

Следствием этой теоремы является тот факт, что дифференциал функции y = f (x) имеет один и тот же вид dy= f ′ x dx как в случае, когда x – независимая переменная, так и в случае, когда x – дифференцируемая функция другого переменного.

Если f (x) – четная функция, то f ′ x  – нечетная; если f (x) – нечетная функция, то f ′ x  – четная.

Пусть в окрестности точки t0 определены функции x (t) и y (t), причем x (t) непрерывна и строго монотонна. Пусть в этой окрестности существуют производные x ′ t 0 ≠0 и y ′ t 0 . Тогда сложная функция y = y (t (x)), где t (x) – функция, обратная x (t), дифференцируема по x, причем dy dx = y ′ t x ′ t .



 

Смотрите также: Математика, Английский язык, Химия, Биология, Физика, География, Астрономия.
А также: библиотека ЭОРов и образовательный онлайн-сервис с тысячами интерактивных работ "Облако знаний".

 

 

 

© Физикон, 1999-2015