Если функции f и g дифференцируемы в точке
то в этой же точке дифференцируемы сумма, произведение и частное (если
)
этих функций, причем
а)
По свойству предела суммы получаем
Постоянный множитель C можно выносить из-под знака производной:
В частности,
б) Функцию f ċ g можно записать в виде
Но
По свойству предела произведения получаем
Используя доказанное равенство, получим, что
Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получим формулу
в) Для доказательства этой формулы заметим, что
Воспользовавшись свойством предела частного, получим
После этого представим
как произведение функций f и
откуда и следует доказываемая формула.
Если f дифференцируема, то
где
также дифференцируема, причем
Доказательство этой формулы предоставляем читателю.
Если функция y = f (x) непрерывна и строго возрастает в окрестности точки
причем
то функция x = φ (y), обратная к функции y = f (x), дифференцируема в точке y0 = f (x0), причем
Если функции y = f (x) и z = g (y) дифференцируемы в точках x0 и y0 = f (x0) соответственно, то сложная функция z = g (f (x)) дифференцируема в точке x0, причем
Следствием этой теоремы является тот факт, что дифференциал функции y = f (x) имеет один и тот же вид
как в случае, когда x – независимая переменная, так и в случае, когда x – дифференцируемая функция другого переменного.
Если f (x) – четная функция, то
– нечетная; если f (x) – нечетная функция, то
– четная.
Пусть в окрестности точки t0 определены функции x (t) и y (t), причем x (t) непрерывна и строго монотонна. Пусть в этой окрестности существуют производные
и
Тогда сложная функция y = y (t (x)), где t (x) – функция, обратная x (t), дифференцируема по x, причем