Учебник. Дифференциал функции

Итак, график дифференцируемой функции в окрестности каждой своей точки сколь угодно близко приближается к графику касательной в силу равенства: $f\left(x_0+\Delta x\right)=f\left(x_0\right)+\left(f^{\mathrm{\prime }}\left(x_0\right)+\alpha \right)\Delta x\mathrm{,}$ где α – бесконечно малая в окрестности $x_0$ функция. Для приближенного вычисления значения функции f в точке x₀ + Δx эту бесконечно малую функцию можно отбросить: $f\left(x_0+\Delta x\right)\approx f\left(x_0\right)+f^{\mathrm{\prime }}\left(x_0\right)\Delta x\mathrm{.}$

Линейную функцию $y=f^{\mathrm{\prime }}\left(x_0\right)\left(x,-,x_0\right)$ называют дифференциалом функции f в точке $x_0$ и обозначают df. Для функции x производная в каждой точке $x_0$ равна 1, то есть $d\mathrm{.}$  Поэтому пишут: $df=f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)dx\mathrm{.}$

Приближенное значение функции вблизи точки $x_0$ равно сумме ее значения в этой точке и дифференциала в этой же точке. Это дает возможность записать производную следующим образом: $f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=\frac{df}{dx}\mathrm{.}$

Часто эту запись используют, чтобы уточнить, по какой переменной дифференцируется функция.

Геометрически дифференциал функции df – это приращение ординаты касательной к графику функции в данной точке при изменении абсциссы точки на dx.