Processing math: 100%

Учебник. Частные производные




Частные производные

В природе иногда встречаются процессы, в которых исследуемая величина является функцией двух, трех и т. д. других величин. Так, в термодинамике температура идеального газа T зависит от давления p и объема V. Если каждому набору аргументов x1D1,   x2D2, …, xnDn ставится в соответствие число y,  то говорят, что задана функция n переменных y = f (x1, x2, …, xn).

Число A называется пределом функции f (x1, x2, …, xn) по подмножеству M области определения функции при (x1; x2; …; xn) → (a1; a2; …; an), если для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что на пересечении δ-окрестности точки A (кроме, быть может, самой точки A) с подмножеством M для всех x = (x1; x2; …; xn) выполняется неравенство |f (x) – A| < ε.

В этом случае пишут A=limxaxMf(x).

Пусть функция двух переменных f (x, y) определена в некоторой окрестности точки (x0; y0). Пределом функции f (x, y) в точке (x0; y0) по направлению l = (cos α, sin α) называется число lim(xy)(x0y0),     (xy)Lf(xy)=, где L – луч, выходящий из точки (x0; y0) в направлении l.

Пусть функция f (x1, x2, …, xn) определена в окрестности точки a = (a1; a2; …; an). Рассмотрим функцию одной переменной f (x1, a2, …, an). Она может иметь производную по своей переменной x1. Такая производная по определению называется частной производной  fx1 в точке a1: fx1(a1 a2 ..., an)=limΔx10f(a1+Δx1 a2 ..., an)-f(a1 a2 ..., an)Δx1.

Аналогично определяются частные производные функции f по другим переменным.

Поскольку при вычислении частных производных все переменные, кроме одной, фиксируются, правила вычисления частной производной точно такие же, как и обычной производной.

Функция f (x1, x2, …, xn) называется дифференцируемой в точке a = (a1; a2; …; an), если она определена в некоторой окрестности этой точки и существуют такие числа A1, A2, …, An, что f(x)-f(a)=ni=1Ai (xi-ai)+(ρ (xa)) при xa. Функция f (x1, x2, …, xn) дифференцируема в точке a тогда и только тогда, когда в некоторой окрестности a функция f (x) может быть представлена в следующем виде: f где функции fi(x) непрерывны в точке a.

Если функция f дифференцируема в точке a, то в окрестности a существуют все частные производные fxi и f Обратное, вообще говоря, неверно.

 

Пусть функция f (x, y, z) дифференцируема в точке A (x0; y0; z0). Назовем градиентом функции вектор gradf(x0 y0 z0)=||fx(x0 y0 z0)fy(x0 y0 z0)fz(x0 y0 z0)||.

Градиент функции обозначается как f. Геометрически направление градиента функции совпадает с направлением наискорейшего возрастания величины, задаваемой этой функцией, а его модуль равен частной производной этой функции по данному направлению. В физике градиент используется, например, для формулы связи потенциальной энергии и силы: F=-grad U.

Например, градиент однородного поля U = kx, изменяющегося только по оси OX, равен F=-gradU=||-k00||.

Еще раз подчеркнем, что градиент – векторная функция от скалярного аргумента.

 

 

Смотрите также: Математика, Английский язык, Химия, Биология, Физика, География, Астрономия.
А также: библиотека ЭОРов и образовательный онлайн-сервис с тысячами интерактивных работ "Облако знаний".

 

 

 

© Физикон, 1999-2015