Учебник. Вектор-функции

Пусть каждому значению $t\in D$ поставлен в соответствие вектор $\overrightarrow{r}\left(t\right)$ трехмерного пространства. В этом случае говорят, что на множестве D задана векторная функция.

Если в пространстве задана декартова система координат, то задание вектор-функции $\overrightarrow{r}\left(t\right)$ означает задание скалярных функций x (t), y (t), z (t). Если $\overrightarrow{i}\mathrm{,}$   $\overrightarrow{j}\mathrm{,}$   $\overrightarrow{k}$ – единичные векторы координатных осей, то $\overrightarrow{r}\left(t\right)=x\left(t\right)\overrightarrow{i}+y\left(t\right)\overrightarrow{j}+z\left(t\right)\overrightarrow{k}\mathrm{.}$

Если для любого t начало вектора $\overrightarrow{r}\left(t\right)$ совпадает с началом координат, то говорят о радиус-векторе.

Вектор $\overrightarrow{a}$ называется пределом вектор-функции $\overrightarrow{r}\left(t\right)$ при $t\to t_0\mathrm{,}$ если $\underset{t\to t_0}{lim}\left|\overrightarrow{r}\left(t\right)-\overrightarrow{a}\right|=0\mathrm{.}$

Пусть $\underset{t\to t_0}{lim}\overrightarrow{r}\left(t\right)=\overrightarrow{a}\mathrm{,}$   $\underset{t\to t_0}{lim}{\overrightarrow{r}}_1\left(t\right)={\overrightarrow{a}}_1\mathrm{,}$   $\underset{t\to t_0}{lim}{\overrightarrow{r}}_2\left(t\right)={\overrightarrow{a}}_2\mathrm{.}$ Тогда $\underset{t\to t_0}{lim}\left|\overrightarrow{r}\left(t\right)\right|=\left|\overrightarrow{a}\right|\mathrm{,}$ $\underset{t\to t_0}{lim}\left(f\left(t\right)\overrightarrow{r}\left(t\right)\right)=\underset{t\to t_0}{lim}f\left(t\right)\underset{t\to t_0}{lim}\overrightarrow{r}\left(t\right)\mathrm{,}$ $\underset{t\to t_0}{lim}\left({\overrightarrow{r}}_1\left(t\right)+{\overrightarrow{r}}_2\left(t\right)\right)=\underset{t\to t_0}{lim}{\overrightarrow{r}}_1\left(t\right)+\underset{t\to t_0}{lim}{\overrightarrow{r}}_2\left(t\right)\mathrm{,}$ $\underset{t\to t_0}{lim}\left({\overrightarrow{r}}_1\left(t\right)ċ{\overrightarrow{r}}_2\left(t\right)\right)=\left(\underset{t\to t_0}{lim}{\overrightarrow{r}}_1\left(t\right)ċ\underset{t\to t_0}{lim}{\overrightarrow{r}}_2\left(t\right)\right)\mathrm{.}$

Вектор-функцию $\overrightarrow{r}\left(t\right)$ называют непрерывной в точке t₀, если $\underset{t\to t_0}{lim}\overrightarrow{r}\left(t\right)=\overrightarrow{r}\left(t_0\right)\mathrm{.}$

Дифференциалом вектор-функции $d\stackrel{⟶}{r}$ называют линейную вектор-функцию $\stackrel{⟶}{\mathrm{r\prime }}\mathrm{(}{t}_0\mathrm{)}\mathrm{(}t-t_0\mathrm{)}\mathrm{.}$ Производная вектор-функции в точке $t_0$ определяется аналогично производной функции одного переменного: ${\overrightarrow{r}}^{\prime }\left(t_0\right)=\underset{\Delta t\to 0}{lim}\frac{\overrightarrow{r}\left(t_0+\Delta t\right)-\overrightarrow{r}\left(t_0\right)}{\Delta t}\mathrm{.}$

Аналогично вводится понятие второй производной и производных более высоких порядков.

Производная вектор-функции ${\overrightarrow{r}}^{\prime }\left(t\right)$ связана с ее дифференциалом $d\overrightarrow{r}$ формулой $d\overrightarrow{r}={\overrightarrow{r}}^{\prime }dt$ или ${\overrightarrow{r}}^{\mathrm{\prime }}=\frac{d\overrightarrow{r}}{dt}\mathrm{.}$

Вектор-функции широко используются в физике. Так, скорость $\overrightarrow{v}\mathrm{,}$ ускорение $\overrightarrow{a}\mathrm{,}$ сила $\overrightarrow{F}\mathrm{,}$ напряженности электрического и магнитного полей $\overrightarrow{E}$ и $\overrightarrow{B}\mathrm{,}$ плотность тока $\overrightarrow{j}$ являются векторными функциями координат.