Учебник. Определение производной

Для решения многих задач требуется найти разность значений функции в двух точках. Так, средняя скорость материальной точки за промежуток времени Δt равна $\langle v\rangle =\frac{S\left(t+\Delta t\right)-S\left(t\right)}{\Delta t}\mathrm{.}$ Если рассматриваемое движение не является равномерным, то чем меньше выбран промежуток времени Δt, тем лучше указанная формула будет характеризовать движение точки. В идеале мы получаем понятие мгновенной скорости v: это предел, к которому стремится средняя скорость, когда Δt → 0, то есть $v=\underset{\Delta t\to 0}{lim}\frac{S\left(t+\Delta t\right)-S\left(t\right)}{\Delta t}\mathrm{.}$

Линеаризация функции y = sin x

Рассмотрим поведение графика функции y = sin x в окрестности точки x = 0. Если увеличивать масштаб графика, то кривизна графика становится все меньше и меньше, а сам график приближается к графику прямой y = x.

Эти и другие задачи приводят к понятию производной.

К определению производной

Пусть функция y = f (x) определена в некоторой окрестности точки $x_0\mathrm{,}$  и существует конечный предел отношения $\frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}$ при Δx → 0. Тогда этот предел называется производной функции в точке $x_0\mathrm{:}$ $f^{\mathrm{\prime }}\left(x_0\right)=\underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}\mathrm{.}$

Производная функции y = f (x) может также обозначаться одним из следующих способов: ${f^{\mathrm{\prime }}}_x\left(x_0\right)\mathrm{,}$   $y^{\mathrm{\prime }}\left(x_0\right)\mathrm{, }$ $\frac{df}{dx}\mathrm{.}$ В физике производную по времени t часто обозначают точкой: $\dot{f}\left(t_0\right)\mathrm{.}$

Если приращение функции f (x₀ + Δx) – f (x₀) обозначить как Δy, то определение можно записать так: $f^{\mathrm{\prime }}\left(x_0\right)=\underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{\Delta y}{\Delta x}\mathrm{.}$

Из определения производной и предела функции следует, что $\Delta y=f^{\mathrm{\prime }}\left(x_0\right)\Delta x+\Delta x\alpha \left(\Delta x\right)\mathrm{,}$ где α (Δx) – бесконечно малая функция при Δx → 0.

Операция вычисления производной называется дифференцированием. Функция называется дифференцируемой в данной точке, если в этой точке существует её производная.

Дифференцирование функций

По аналогии с пределами вводится понятие правой и левой производных: ${f^{\mathrm{\prime }}}_{\mathrm{+}}\left(x_0\right)=\underset{\Delta x\to \mathrm{+}0}{lim}\frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}\mathrm{,}$  ${f^{\mathrm{\prime }}}_{\mathrm{-}}\left(x_0\right)=\underset{\Delta x\to \mathrm{-}0}{lim}\frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}\mathrm{.}$

Если существует производная в точке $x_0\mathrm{,}$  то существуют левая и правая производная в этой же точке, причем ${f^{\mathrm{\prime }}}_{\mathrm{-}}\left(x_0\right)={f^{\mathrm{\prime }}}_{\mathrm{+}}\left(x_0\right)=f^{\mathrm{\prime }}\left(x_0\right)\mathrm{.}$

Обратное также верно: если ${f^{\mathrm{\prime }}}_{\mathrm{-}}\left(x_0\right)={f^{\mathrm{\prime }}}_{\mathrm{+}}\left(x_0\right)\mathrm{,}$ то производная $f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)$ в точке $x_0$ существует и равна левой и правой производным.

Функция y = |x|^1/2 имеет в точке x = 0 бесконечную производную неопределённого знака.

Можно ввести также понятие бесконечной производной $f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=\mathrm{+}\infty \mathrm{,}$  $f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=\mathrm{-}\infty \mathrm{,}$  $f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=\infty$ (последний случай может иметь место, если, например, $\underset{\Delta x\to \mathrm{+}0}{lim}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\mathrm{+}\infty \mathrm{,}$ а $\underset{\Delta x\to \mathrm{-}0}{lim}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\mathrm{-}\infty$).

Если функция дифференцируема в точке x₀, то она непрерывна в этой точке.

Обратное, вообще говоря, неверно. Примером может служить функция y = |x|, непрерывная в точке x = 0, но имеющая в ней «излом». Производная этой функции в точке x = 0 не существует, так как ${f^{\mathrm{\prime }}}_{\mathrm{-}}\left(x_0\right)\ne {f^{\mathrm{\prime }}}_{\mathrm{+}}\left(x_0\right)$: ${f^{\mathrm{\prime }}}_{\mathrm{-}}\left(0\right)=\mathrm{-}1\mathrm{,}$  ${f^{\mathrm{\prime }}}_{\mathrm{+}}\left(0\right)=1\mathrm{.}$