Учебник. Решение систем уравнений и неравенств

Уравнение g (x, y) = 0 задает на координатной плоскости некоторую кривую, каждая точка M (x; y) которой удовлетворяет этому уравнению.

Некоторые кривые являются графиками функций y = f (x), что означает равносильность уравнений g (x, y) = 0 и y = f (x). К таковым, например, относится кривая, задаваемая уравнениями x + y – 1 = 0 или y – x² = 0. Другим не соответствуют никакие функции, например, $x^2$   (в данном случае каждому значению $x\in \left(\mathrm{-}1\mathrm{; }1\right)$ соответствуют два значения y).

Окружность с центром в точке (-2; 1)

Гипербола, задаваемая уравнением x² – y² = 1.

Уравнением окружности с центром в точке (a; b) и радиусом r > 0 является (x – a)² + (y – b)² = r².

Уравнение (x – a)² + (y – b)² = 0 задает точку с координатами (a; b), уравнение x² – y² = a² – гиперболу.

Уравнение вида f (x, y) · g (x, y) = 0 задает на плоскости объединение линий f (x, y) = 0 и g (x, y) = 0. Каждая точка этой фигуры является решением совокупности уравнений $[\begin{array}{l}f\left(x\mathrm{,}y\right)=0\mathrm{;}\hfill \\ g\left(x\mathrm{,}y\right)=0\mathrm{.}\hfill \end{array}$

Пусть задана система уравнений $\{\begin{array}{l}f\left(x\mathrm{,}y\right)=0\mathrm{,}\hfill \\ g\left(x\mathrm{,}y\right)=0\mathrm{.}\hfill \end{array}$ Ее решением является совокупность пар чисел (x_i; y_i), подстановка которых в каждое из уравнений превращает его в верное равенство. Построим на координатной плоскости кривые, задаваемые уравнениями f (x, y) = 0 и g (x, y) = 0. Тогда можно сказать, что геометрически решением системы уравнений является совокупность всех точек M_i (x_i; y_i), в которых пересекаются кривые, задаваемые этими уравнениями.

Если кривые не пересекаются, то система уравнений решений не имеет. В этом случае говорят, что система несовместна.

Систему $\{\begin{array}{l}f\left(x\mathrm{,}y\right)=0\mathrm{,}\hfill \\ g\left(x\mathrm{,}y\right)=0\mathrm{,}\hfill \\ h\left(x\mathrm{,}y\right)=0\mathrm{,}\hfill \end{array}$ геометрически можно представить как совокупность точек, в которых пересекаются три кривые f (x, y) = 0, g (x, y) = 0 и h (x, y) = 0. Если не существует точки, в которой пересекаются все три кривые, то система также несовместна.

Аналогичным образом уравнение f (x, y, z) = 0 задает поверхность в трехмерной декартовой системе координат. Геометрически решением системы уравнений $\{\begin{array}{l}f\left(x\mathrm{,}y\mathrm{,}z\right)=0\mathrm{,}\hfill \\ g\left(x\mathrm{,}y\mathrm{,}z\right)=0\mathrm{,}\hfill \\ h\left(x\mathrm{,}y\mathrm{,}z\right)=0\mathrm{,}\hfill \end{array}$ будет совокупность координат точек M_i (x_i; y_i; z_i), в которых пересекаются поверхности, задаваемые этими уравнениями.

Так, уравнения x² + y² + z² = 1, y = 0, z = 0 задают в пространстве сферу единичного радиуса с центром в начале координат и две координатные плоскости, перпендикулярные соответственно оси ординат и оси аппликат. Плоскость z = 0 пересекает сферу по окружности x² + y² = 1, лежащей в плоскости z = 0. Плоскость y = 0 пересекает эту окружность в двух точках с координатами M₁ (–1; 0; 0) и M₂ (1; 0; 0). Таким образом, решением системы уравнений $\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2+z^2=1\mathrm{,}\hfill \\ y=0\mathrm{,}\hfill \\ z=0\mathrm{,}\hfill \end{array}$ являются две тройки чисел (±1; 0; 0).

Иногда при решении задач графики могут ввести в заблуждение. Так, на эскизе кажется, что графики функций y = (1/16)^x и y = log_1/16 x пересекаются только в одной точке, лежащей на биссектрисе первого координатного угла. И только при более внимательном рассмотрении у уравнения (1/16)x = log_1/16 x находятся еще два корня x = 1/2 и x = 1/4. Увеличьте масштаб графика, чтобы убедиться в этом

Кривая f (x, y) = 0 делит координатную плоскость на несколько областей, внутри каждой из которых функция f сохраняет знак. Для решения неравенства f (x, y) > 0 графическим методом необходимо в каждой из таких областей взять пробную точку и вычислить ее знак, после чего отобрать области, в которых функция f принимает положительные значения. Присоединяя к полученному решению саму кривую, получим решение неравенства f (x, y) ≥ 0.

Чтобы решить графически систему $\{\begin{array}{l}f\left(x\mathrm{,}y\right)>0\hfill \\ g\left(x\mathrm{,}y\right)>0\hfill \end{array}\mathrm{,}$ нужно изобразить на координатной плоскости решения каждого из неравенств f (x, y) > 0, g (x, y) > 0, а затем найти их пересечение. Аналогичным образом поступают, если неравенств больше двух.